Se voce nao usou nada que seja parecudo com as Desigualdades de Jensen, eu quero ver...
Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram escritas? --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: --------------------------------- Oi a todos Um fato interessante nao muito divulgado eh que a desg. dasmedias aritmetica e geometrica pode ser generalizada para medias ponderadasquando os numeros e pesos sao positivos (ou, se preferirem, pode-se dizerque a desigualdade das m. aritmetica e geometrica eh um caso particular dasponderadas). Se x_1,...x_n e p_1,....p_n sao positivos, a =(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i) e g =(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)), entao a>=g, havendoigualdade se, e somente se, x_1=.....x_n. Eu comecei tentando fazeruma generalizacao baseada na desigualdade ma >= mg. Se os p_i foremtodos inteiros, entao a e g sao as medias aritmetica e geometrica doconjunto obtido quando cada x_i eh tomado p_i vezes. Logo, neste caso valeque a>=g com igualdade sse os x_i forem iguais. Se os p_i forem todosracionais, entao, considerando cada p_i como a relacao entre dois inteirospositivos, vemos facilmente que a e g igualam-se a medias aritmeticase geometricas ponderadas nas quais os pesos sao inteiros positivos,caindo-se portanto no caso anterior. Assim, tambem no casoracional vale a desigualdade procurada. Se os p_i foremreais positivos quaisquer, entao, para x_1, ...x_n fixos,as funcoes (p_1,....p_n_ -> a(p_1,...p_n) e (p_1,....p_n_-> g(p_1,...p_n) sao continuas no subespaco de R^n formado pelospontos com coordenadas positivas. Se os x_i nao forem todosidenticos, entao no subconjunto do R^n formado pelos pontos comcoordenadas racionais e positivas temos a(p_1,...p_n) >g (p_1,....p_n).Como este ultimo conjunto eh denso no primeiro, temosque a(p_1,...p_n) >=g (p_1,....p_n) em todo o R^n comcorrdenadas positivas. Isto prova a desigualdade mas nao prova que aigualdade ocorre sse x_1 =....x_n. Por este caminho naoconsegui completar a prova. Consegui, entrtanto, uma prova completa, semsupor conhecida a desigualdade ma >= mg, baseada nas propriedades dafuncao exponencial. Abracos Artur ________________________________________________ OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=========================================================================Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html========================================================================= _______________________________________________________ Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora! http://br.info.mail.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================