Oi Tertuliano, 1) Suponha que f(z) =! 0, para todo z em U. Considere g = 1/f. Então g tem um máximo local, a dizer z = a, e portanto deve ser constante.
2) Vamos mostrar que f^(n+1)(z) = 0, para todo z em U. De fato, tome r > max{R, |z|}. Então pela fórmula integral de Cauchy temos: f^(n+1)(z) = [(n+1)!/2.pi.i]int(|w|=r)(f(w)dw/(w-z)^(n+2)) => |f^(n+1)(z)| <= [(n+1)!/2.pi]int(|w|=r)(|f(w)||dw|/|w-z|^(n+2)) <= [(n+1)!/2.pi](M.r^n).(2.pi.r)/(r-|z|)^(n+2)= = M.(n+1)!.r^(n+1)/(r-|z|)^(n+2) = = M.(n+1)!/[r(1-|z|/r)^(n+2)] -> 0 qdo r -> infty. Isso garante que f^(n+1) é ltda e portanto, pelo Teorema de Liouville, é constante. Assim, f é um polinômio de grau <= n. Abraços, Yuri -- Mensagem original -- >Feliz ano novo para todos da lista. Gostaria que me ajudassem nesses problemas: > >1) Seja f : U em C (complexos) uma funcao holomorfa, onde u é um domínio. >Suponha q exista um ponto a em U tq /f(a)/ é menor ou igual a /f(z)/ para >todo z em U. Mostre q ou f(a) = 0 ou f é uma funcao constante. >Obs.: /x/ representa a norma de x. > >2) Seja f uma funcao inteira (holomorfa em todo plano complexo C) e suponha >q existem M, R positivos e n maior ou igual a 1 tq /f(z)/ é menor ou igual >a M/z/^n para /z/ maior ou igual a R. Mostre q f é um polinomio cujo grau >máximo é n. > > >Grato, >Tertuliano Carneiro > > >--------------------------------- >Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! >agora. Até mais, Yuri ------------------------------------------ Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================