>Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que >eh primo com os demais.
Finalmente, fazendo a coisa direito: Dada a sequencia a_1,..., a_10 onde a_n = 1 + a_(n-1), seja A o conjunto dos termos da sequencia congruentes a 1 ou a 5 módulo 6. Se a_i é o elemento de A com menor índice, então i<=4 pois se a_1 == -3, - 2, -1,0, 1, 2 mod 6 então respectivamente os a_i seriam a_3, a_2, a_1, a_2, a_1, a_4. Evidentemente os únicos candidatos a elementos de A seriam a_i, a_(i+2), a_ (i+4), a_(i+6), a_(i+8), ou seja, elementos da forma a_(i+2k), com 0 <= k <= 4, logo a diferença entre 2 elementos quaisquer é da forma 2*x onde 1<=x<=3 ==> a diferença entre dois números de A é múltipla de 2 e pode ser múltipla de 3 ==> se p divide dois elementos de A então p = 2 ou p = 3, absurdo. Ainda, 3<= #A <= 4; isso pode ser visto considerando-se os dois casos possíveis: 1) a_i == 1 mod 6. Nas desigualdades abaixo, os termos centrais estão com certeza em A: a_1<= a_i <= a_4 a_5 <=a_(i+4)<= a_8 a_7<=a_(i+6)<= a_10, logo #A = 3. 2) a_i == -1 mod 6. Estão com certeza em A os centrais: a_1 <= a_i <= a_4 a_3<= a_(i+2)<= a_6 a_7<= a_(i+6) <=a_10 e possivelmente a_9 <=a_(i+8)<=a_10, logo 3<= #A <= 4. Observe que o maior primo comum a dois elementos a_k da sequencia é 7, visto que se p divide dois a_k então ele divide a diferença que é menor ou igual a 9. Ainda, entre 10 números consecutivos, existe 1 ou 2 múltiplos de 7 e exatamente 2 múltiplos de 5. Como os possíveis elementos de A são da forma a_ (i + 2k) e 4>= k >= 0, segue que não pode haver mais do que 1 múltiplo de 5 e 1 múltiplo de 7 em A, e como 3<= #A <= 4, é possível encontrar um elemento em A que não seja divisível nem por 5 nem por 7. Sendo elemento de A, ele já não é divisível por 2 nem por 3, ou seja, não possui nenhum fator primo menor ou igual a 7, e portanto ele deverá ser primo com os demais. []s, Daniel ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================