Esta conclusao pode ser generalizada para qualquer a >1 (em vez de apenas a =2, caso do quadrado),
Artur
--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Continuidade uniforme
Data: 07/01/05 21:01
on 07.01.05 18:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Achei este problema interessante:
>
> Mostre que, se f:R ->R eh continua, periodica e nao constante em R, entao
> g(x) = f(x^2) nao eh uniformemente continua em R.
> Nao eh dificil mostrar isto. E com isto, concluimos como corolario aquilo
> que jah foi aqui discutido, ou seja, g nao eh periodica em R.
> Artur
>
Seja a > 0 o periodo de f.
Como f eh continua, teremos que lim(n -> infinito) f(x + y/n) = f(x),
quaisquer que sejam x e y reais.
Como f eh nao-constante, vai existir b tal que:
0 < b < a/4 e |f(2*raiz(a*b) - f(0)| = 2*eps > 0
Logo,
|g(raiz(n*a) + raiz(b/n)) - g(raiz(n*a))| =
|f(n*a + b/n + 2*raiz(a*b)) - f(n*a)| =
|f(b/n + 2*raiz(a*b)) - f(0)| > eps, para n suficientemente grande.
No entanto, raiz(b/n) pode ser feito tao pequeno quanto se queira.
Ou seja, encontramos x = raiz(n*a) e y = x + raiz(b/n) tais que |x - y|
torna-se arbitrariamente pequeno enquanto |f(x) - f(y)| permanece maior do
que uma quantidade positiva fixa (eps).
Logo, g nao eh uniformemente continua.
[]s,
Claudio.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
________________________________________________
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================