--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > ***** > > 10) Seja P = A^c - B^c, > onde: > A, B e c são inteiros e primos entre si, > A - B > 1, > c = n1*n2*...*ni*...nk , > (os ni são fatores primos distintos, ou seja, c tem > k fatores > primos distintos). > > Mostre que P é um número composto com, no mínimo, > k+1 > fatores primos distintos. > > *****
Deixe eu colocar uma restrição adicional c = impar. Em primeiro lugar é fácil ver que todos os números da forma A^ni - B^ni dividem P. Portanto, um caminho seria mostrar que, dados quaisquer números da forma S1 = A^x - B^x e S2 = A^y - B^y, x e y primos entre si, S1 e S2 não podem ser múltiplos, isto é, possuem algum fator primo distinto entre si. ****1** suponha A, B e x,y primos entre si. x e y primos diferentes de 2 e x > y. Hipótese: se A^x - B^x tem fatores primos em comum com A^y - B^y, estes fatores estão em A - B. Suponha que S1 = A^x - B^x contém um fator em comum com S2 = A^y - B^y. Seja F1 = A^(x-y) * S2 = A^(x-y) * (A^y - B^y) = A^x - [A^(x-y)*(B^y)]. Naturalmente F1 contém o mesmo fator em comum com S1 e S2, e portanto F1 - S1 o conterá também. F1 - S1 = B^x - [A^(x-y)*(B^y)] = B^y * [B^(x-y) - A^(x-y)]. Dado que A e B são primos entre si, o fator comum não pode estar em B^y, e portanto está em B^(x-y) - A^(x-y). Agora pode-se repetir o raciocínio para B^(x-y) - A^(x-y) e A^y - B^y, verificando qual dos dois expoentes é maior. Suponhamos que x-y > y. Neste caso podemos provar que o fator comum também está em B^(x-2y) - A^(x-2y). Observe que, caso y > x-y provaríamos para o expoente 2y - x. Repetindo o raciocínio interativamente vamos chegar até o expoente 1. Note que, como x e y são primos, a sequencia de expoentes decrescentes não coincidirá com y. Por exemplo x = 19, y = 3. 19 -> 16 -> 13 -> 10 -> 7 -> 4 ->1 Por exemplo x = 17, y = 3. 17 -> 14 -> 11 -> 8 -> 5 -> 2 ->1 Por exemplo x = 19 y = 11. 19 -> 8 -> 3 (11 - 8) -> 5 (8 - 3) -> 2 (5 - 3) -> 1 (3 - 2) ****2** S2 = A^y - B^y também possui ao menos um fator primo distinto da decomposição em fatores primos de A - B. Note-se que S2 = (A - B) * F3, onde F3 = A^y-1 + (A^(y-2))*B + ... + B^y-1 Portanto, se a hipótese estiver correta e S2 contiver ao menos um fator primo distinto de A - B, este fator estará em F3 Note-se que F3 tem exatamente y termos. Se a Hipótese estiver incorreta, isto é, se A - B contiver todos os fatores primos de F3, então qualquer combinação linear do tipo k1*(A - B) + k2*F3 também conterá todos estes fatores. Esta idéia pode ser usada para reduzir-se os termos de F3 até um único termo que obrigatoriamente teria de conter todos os fatores primos. Por exemplo vamos considerar y = 3. Neste caso F3 = A^2 +A*B +B^2 F3 + A(A - B) = A^2 + A*B - A*B + B^2 = 2*A^2 + B^2 2*A^2 + B^2 + (A + B)*(A - B) = 2*A^2 + B^2 + A^2 - B^2 = 3*A^2 y = 5, F3=A^4 +A^3*B +A^2*B^2 +A*B^3 +B^4 F3 + A^3*(A - B) + A*B^2*(A - B) = 2*A^4 +2*A^2*B^2 +B^4 = X1 X1 + 2*A^2*(A + B)*(A - B) = X1 + 2*A^4 - 2*A^2*B^2= 4*A^4 + B^4 4*A^4 + B^4 + A^4 - B^4 = 5*A^4 Na verdade, caso (A - B) tenha todos os fatores primos de F3, é possível transformar F3 em outras expressões que devem conter os mesmos fatores primos, através de "operações elementares", até uma expressão na forma y*A^y-1 (ou y*B^y-1). Mas vamos recordar que A,B e y são primos entre si, portanto não é possível que y*A^y-1 contenha os mesmos fatores primos de A - B. Em resumo, temos que **1** - Se S1 e S2 possuem fatores primos em comum, estes fatores estão em A - B. **2** - S1 e S2 possuem ao menos um fator primo não contido em A - B Logo S1 e S2 possuem ao menos um fator distinto entre si. A extensão para c par é direta fazendo A^2 - B^2 = D - C []´s _______________________________________________________ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================