> >Caros colegas: > >Seguem abaixo problemas propostos na lista obm-l desde outubro de 2004 que >ainda nao foram resolvidos: > >[]s, >Claudio. > > >28) Seja A = conjunto dos inteiros positivos livres de quadrados e que tem >um numero ímpar de fatores primos (distintos, claro!) > >Assim, A contém todos os primos e seu menor elemento composto é 30 = 2*3*5. > >Calcule o valor de Soma(n em A) 1/n^2. > >Pode usar, sem demonstrar, que: >Soma(n em N) 1/n^2 = Pi^2/6 e Soma(n em N) 1/n^4 = Pi^4/90. >
Para s>1, por fatoração única e convergência absoluta, soma(n=1 a infinito)(1/n^s)=produto(p primo)(1+1/p^s+1/p^(2s)+...)= =produto(p primo)(1-1/p^s)^(-1) (essa é a popular fórmula de Euler). Por razões análogas, se B = conjunto dos inteiros positivos livres de quadrados e que têm um numero ímpar de fatores primos distintos, soma(n em B)(1/n^2)-soma(n em A)(1/n^2)=produto(p primo)(1-1/p^2)= =(soma(n=1 a infinito)(1/n^2))^(-1)=6/pi^2, enquanto soma(n em B)(1/n^2)+soma(n em A)(1/n^2)=produto(p primo)(1+1/p^2)= =produto(p primo)((1-1/p^4)/(1-1/p^2))=(pi^2/6)/(pi^4/90)=15/pi^2. Assim, soma(n em A)(1/n^2)=(15/pi^2-6/pi^2)/2=9/(2.pi^2)= =0,45594532639051997149745758444377.... Abraços, Gugu ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================