Este exemplo do Bernardo eh bem legal. Eu dei aqueles outros exemplos porque me vieram imediatamente aa cabeca.
O exemplo do Bernardo tem uma generalizacao para espacos metricos que contenham um subconjunto denso e enumeravel. Tais espacos sao conhecidos pela denominacao (a meu ver, muito infeliz) de espacos separaveis. Os R^n enquandram-se precisamente neste caso, pois o conjunto dos pontos com coordenadas racionais eh enumeravel e denso em R^n . Se S eh um espaco metrico e D eh um subconjunto denso e enumeravel de S, entao qualquer sequencia que enumere os elementos de D tem como conjunto dos pontos de aderencia o proprio S. Pelos mesmos motivos que o Bernardo expos. A respeito do exemplo que dei sobre a funcao |sen(n)| hah uma generalizacao baseada no seguinte teorema: se f:R_>R eh continua, periodica e nao-constante em R e seu periodo fundamental p eh irracional, entao a sequencia f(n) eh densa em f([0,p]). Abracos Artur --------- Mensagem Original -------- _____________________________________ Bom, sem usar um exemplo sofisticado como o do Arthur, um truque bem legal para este tipo de problema é pensar racionalmente. Ou seja, tome uma enumeração qualquer dos racionais do intervalo [0,1] = {x_1, x_2, x_3, ...}. É claro que isto é uma seqüência, e o mais legal é que a aderência é todo [0,1]. Pense porquê: um número real qualquer possui vizinhanças arbitrariamente pequenas que contém infinitos números racionais. Assim, em qualquer ponto da sequüência, como você só retirou uma quantidade FINITA de termos, ainda restam infinitos, portanto NENHUMA vizinhança destes números perdeu todos os INFINITOS racionais que ela continha. Uma das aplicações é generalizar esta demonstração (faça exatamente o mesmo) para espaços onde os racionais sejam densos e enumeráveis (isso é para evitar maiores patologias, tipo dimensão não-enumerável, coisas asssim), e é exatamente igual: faça uma enumeração dos mesmos. ________________________________________________ OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================