Ok, vamos fazer continhas...
A função de densidade das variáveis exponenciais em questão é f(x) = a e^{-a x}, onde f : [0, oo) -> IR^+
Então, temos Pr[X >= 2y] = 1 - Pr[X <= 2y]. Por definição Pr[X <= 2y] = Integral_{0, 2y} f(x) dx = 1 - e^{-a (2y)}, logo
Pr[X >= 2y] = e^{-a (2y)}
Substituindo na nossa integral Pr[A] = Integral_{0, oo} Pr[X >= 2y] f(y) dy = Integral_{0, oo} e^{-a (2y)} a e^{-a y} dy = Integral_{0, oo} a e^{-3ay} dy
Ok, agora basta calcular a integral acima... Você pode tentar fazer isso na unha ou usar um truque... Como f é função de densidade, sabemos que
Integral_{0, oo} c e^{-cy} dy = 1 para toda constante c > 0. Então, chame c = 3a e observe que
Pr[A] = 1/3 Integral_{0, oo} c e^{-cy} dy = (1/3) * 1 = 1/3.
Abraços,
Domingos.
O meu problema tem sido exatamente calcular P(X >= 2y). De qualquer forma, consigo a resposta a/3 (assumi que os parâmetros sao iguais pras duas distribuições, já que o problema deixa isso meio implícito). Mas a resposta certa é 1/3.
O que poso fazer?
Grato, Henrique.
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