Obrigado. Mas eu tambem nao conheco muito de Topoogia Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Lima Enviada em: Thursday, January 27, 2005 9:00 AM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re:[obm-l] Sigma-Algebra Borel
Eu entendo pouco de topologia, mas assino em baixo. Ficou bom. Parabens. --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Acho que podemos raciocinar da seguinte maneira. > Seja S um espaco metrico > separavel e localmente compacto. Por ser separavel, > S contem um conjunto D > que eh denso e enumeravel. Seja (x_n) uma enumeracao > dos elementos de D. A > cada x_n associemos, baseados na compacticidade > local de S, uma vizinhanca > B_n cujo fecho B'_n seja compacto. O fato de D ser > denso implica que {B_n} > seja uma base topologica enumeravel de S, o que, por > sua vez, implica que > {B'_n} seja uma cobertura enumeravelde S composta > por conjuntos compactos. > Seja F um conjunto fechado de S. Entao, a colecao > {B'_n inter F} eh > enumeravel e cobre F. Alem disto, eh composta por > conjuntos compactos, pois > a interseccao de um conjunto compacto com um fechado > eh compacta. A > conclusao a que chegamos e que todo conjunto fechado > de S eh dado por uma > uniao enumeravel de conjuntos compactos. > Se M eh a sigma-algebra gerada em S pelos seus > conjuntos compactos, enato a > definicao de sigma-algebra implica que M contem a > colecao dos fechados de S > e , portanto, contem a sigma-algebra de Borel, pois > esta ultima eh tambem > gerada pelos conjuntos fechados S. . Por outro lado > a sigma-algebra de > Borel contem a colecao dos compactos, pois todo > compacto eh fechado. Assim a > colecao dos compactos, a dos abertos e a dos > fechados, todas geram a mesma > sigma-algebra de Borel. > Eu estava a ponto de dizer que isto pode ser > extendido a espacos de > Hausdorff, mas era um equivoco. Em espacos nao > metricos, separabilidade nao > implica a existencia de base topologica enumeravel. > Mas se o espaco for > Hausdorff e tiver uma base enumeravel, acho que a > conclusao eh preservada. > Este raciocinio esta OK? > Artur > > > _______________________________________________________ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================