Oi pessoal,
Aqui vai minha solucao.
Lema 1: Se A eh uma matriz quadrada de ordem 2 que nao eh da forma A = a *
I,
onde I eh a matriz identidade e a eh um escalar diferente de zero, entao
existe
uma matrix X inversivel, tal que:
(1/X) * A * X = [a' c'], ou seja X anula o elemento da posicao (2,2).
[d' 0 ]
Dem.:
Seja A = [a c]
[d b]
Dividindo em 3 casos:
1) Se c for diferente de zero, vale:
[a c] * [0 c] = [c 0 ] = [0 c] * [a+b cd-ab]
[d b] [1 -a] [b cd-ab] [1 -a] [1 0 ]
Como |0 c| = -c <> 0, basta tomar X = [0 c]
|1 -a| [1 -a]
2) Se d for diferente de zero, vale:
[a c] * [a 1] = [a^2+cd a] = [a 1] * [a+b 1]
[d b] [d 0] [ad+bd d] [d 0] [cd-ab 0]
Como |a 1| = -d <> 0, basta tomar X = [a 1]
|d 0| [d 0]
3) Se c = d = 0 e a <> b, vale:
[a 0] * [1 -1] = [a -a] = [1 -1] * [a+b -a]
[0 b] [-b a] [-b^2 ab] [-b a] [b 0]
Como |1 -1| = a - b <> 0, basta tomar X = [1 -1]
|-b a| [-b a]
Lema 2: Se a_1, a_2, ..., a_n eh uma sequencia de numeros num corpo de
caracteristica zero com a_1 + a_2 + ... + a_n = 0, entao existe uma
permutacao
p, tal que: existe r >= 0 com:
a_p(1) = a_p(2) = ... = a_p(r) = 0 e
a_p(i) <> Somatorio (j > i) a_p(j), para i > r
Dem.:
Iremos provar por inducao sobre n.
Base de inducao(n = 1): o lema 2 eh claramente verdadeiro.
Passo indutivo: Se fosse a_1 = a_2 = ... = a_n, entao como o corpo eh de
caracteristica zero, temos que a_1 = a_2 = ... = a_n = 0, logo o lema ja
seria
verdadeiro para a permutacao identidade. Se existissem i, j com a_i <> a_j,
entao podemos supor que i = n - 1 e j = n (basta aplicar uma permutacao que
troca o a_i com a_(n-1) e o a_j com o a_n), assim, sabemos que existe uma
permutacao q tal que: existe r' >= 0 com:
b_p(1) = b_p(2) = ... = b_p(r') = 0 e
b_p(i) <> Somatorio (j > i) b_p(j), para i > r', onde:
b_1 = a_1, b_2 = a_2, ... b_(n - 2) = a_(n - 2) e b_(n - 1) = a_(n - 1) +
a_n.
Compondo a permutacao q (extendida) com a permutacao que troca a_i e a_j com
a_(n-1) e a_n, temos a nossa permutacao p.
Por inducao o lema 2 eh verdadeiro para todo n >= 1.
Lema 3: Se M = (m_(i,j)) eh uma matriz quadrada nxn tal que tr(M) = 0 sobre
um
corpo de caracteristica zero, entao existe X inversivel tal que:
M = (1/X) * A * X, onde A eh uma matriz com diagonal principal nula.
Obs.: tr(M) = tr(1/X * A * X) = tr(A).
Dem.:
* Se n = 1 o resultado eh trivial.
* Se n = 2, o lema 2 eh consequencia imediata do lema 1.
* Se n > 2, utilizando o lema 2 podemos assumir que:
Existe r >= 0, tal que:
m_(1,1) = m_(2,2) = ... = m_(r,r) = 0 e
m_(i,i) <> Somatorio (j > i) m_(j,j), para i > r.
(pois basta aplicar a matriz permutacao P correspondente a p, assim
P * M * (1/P) satisfaz a hipotese acima)
Se r = n, entao basta tomar X = I e acabou.
Se r < n, temos:
Como m_(n,n) <> m_(n-1,n-1), vale (pela lema 1):
X_n * M * (1/X_n) tem o elemento da posicao (n,n) igual a zero.
Basta tomar:
X_n = [I(n-2) 0], onde I(n-2) eh a matriz identidade de ordem n - 2 e
[ 0 P_n]
P_n eh a matriz tal que (1/P_n) * [m_(n-1, n-1) m_(n-1,n)] * P_n eh uma
matriz
de
[m_(n,n-1) m_(n,n) ]
ordem 2x2 com o elemento da posicao (2,2) igual a zero (essa matriz P existe
pelo lema 1)
Como m_(n-2,n-2) <> m_(n-1,n-1) + m_(n,n), vale (pelo lema 1)
X_(n-1) * X_n * M * (1/X_n) * (1/X_(n-1)) tem os elementos das posicoes
(n,n)
e
(n-1,n-1) iguais a zero.
Basta tomar:
X_(n-1) = [I(n-3) 0 0 ], onde P_(n-1) eh a matriz que zera a posicao
[ 0 P_(n-1) 0 ]
[ 0 0 I(1)]
(n-1,n-1) de X_n * M * (1/X_n)
Prosseguindo desta forma, teremos que X * M * (1/X) tem a diagonal principal
nula, onde X = Produtorio (i > r) de X_i
Logo o lema 3 eh verdadeiro, tambem.
Problema: Seja M uma matriz real quadrada, entao:
* tr(M) = 0 <=> Existem A e B matrizes reais tais que M = AB - BA.
Solucao: Claramente se M = AB - BA => tr(M) = 0, pois tr(AB) = tr(BA),
tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(a * A) = a * tr(A), onde a eh um escalar.
Se tr(M) = 0, entao, pelo lema 3 (como R tem caracteristica zero),
existe X inversivel tal que: M = (1/X) * C * X, onde a diagonal principal de
C
eh nula (digamos que C = (c_(i,j))).
Tomando A' = (a_(i,j)) com:
a_(i,j) = i se i=j
= 0 caso contrario
e tomando B' = (b_(i,j)) com:
b_(i,j) = c_(i,j)/(i-j) se i<>j
= 0 caso contrario
Vale: C = A'B' - B'A', logo se A = (1/X) * A' * X e B = (1/X) * B' * X,
vale:
M = AB - BA.
[]'s Humberto
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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