Acho meio bobo escrever "urgente" no subject, fica parecendo spam. Acho também que você deveria fazer com que o seu e-mail aparecesse com o seu nome, e não como "List OBM", mas vamos aos problemas.
On Wed, Feb 02, 2005 at 10:46:30AM -0300, Lista OBM wrote: > gostaria de uma ajuda nos problema abaixo: > > 1) Podemos dizer que AB e BA têm o mesmo polinômio minimal para todas > matrizes A e B pertencentes a M_n(K)? E quando uma delas é não-singular? As respostas são não e sim, respectivamente. Para o primeiro, tome A = [[0,1,0],[0,0,0],[0,0,0]], B = [[0,0,0],[0,0,1],[0,0,0]]. Fazendo as contas, vemos BA = 0 tem polinômio mínimo x e AB tem polinômio mínimo x^2. Para o segundo, suponha sem perda A inversível. Escreva BA = A^(-1) (AB) A: assim AB e BA são conjugadas e o resultado segue. > 2) Seja A: V --> V uma transformação linear, onde V é um K-espaço vet. de > dim. finita. Para todo v em V, considere o seguinte conjunto: > > W(v) = {g(A)(v) ; g pertence a K[X]}. > > Consegui verificar as seguintes afirmações: a) W(v) é um subspaço > A-invariante; > > b) Se f(X,v) é o polinômio minimal da restrição de A a W(v), então, para cada > v em V, f(X,v) divide m(X), onde m(X) é o polinômio minimal de A; > > c) Se um polinômio h(X) pertencente a K[X] é divisível por f(X,v) para todo v > em V, então h(X) é divisível por m(X). > > Porém, naum consegui provar a afirmação abaixo: d) Prove que existe um v em V > tal que f(X,v) = m(X). Uma matriz companheira é uma matriz A com primeira coluna e_2, segunda coluna e_3, ..., (n-1)-ésima coluna e_n. O teorema da forma racional diz que toda matriz M é conjugada a uma matriz com blocos companheiros na diagonal e zeros fora dos blocos. Podemos ainda tomar o primeiro bloco com polinômio característico = polinômio mínimo de M. Agora basta tomar v = e_1. > Obs.: Estava tentando provar que existe u em V tal que f(X,u) = p(X,u), onde > p(X,u) é o polinômio caracteístico da restrição de A ao respectivo W(u). Com > isso a afirmação acima ficaria verificada usando o item c) e outras > propriedades de polinômio minimal. > > 3) Sejam R e S transformações K-lineares sobre um esp. vetorial V de dim. > finita. Se RS = SR e se m_R(X) e m_S(X) (pols. minimais de R e S, respec.) > tem raizes simples em K, prove que existe um base B = {v_1, v_2, ..., v_n} > tal que [R]_B e [S]_B são diagonais. Dizer que m_R(X) tem raízes simples em K é o mesmo que dizer que R é diagonalizável em K. O mesmo vale para S. Como elas comutam elas são simultaneamente diagonalizáveis. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================