Eu achei esse problema legal porque a chave, na minha opiniao, eh a observacao bastante elementar que se os divisores de n sao d1, d2, ..., dk, entao estes divisores tambem podem ser expressos como n/d1, n/d2, ..., n/dk.
Um outro resultado que pode ser provado com base nisso eh o seguinte: Se os divisores positivos de n sao d1, d2, ..., dk, entao: Phi(d1) + Phi(d2) + ... + Phi(dk) = n, onde: Phi(m) = no. de inteiros positivos <= m e primos com m. []s, Claudio. on 29.10.04 16:08, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Se d eh divisor de n, entao n/d tambem eh e d * n/d = n. Suponhamos que n > tenha m divisorese seja P o produto destes divisores. Se m for par, > podemos entao expressar P como um produto de m/2 fatores do tipo d*(n/d) = > n. Logo P = n^(m/2). Se m for impar, entao n tem um divisor d* tal que n/d* > = d* (ou n teria necessariamente um numero par de divisores). Entao, n eh > quadrado perfeito e d* = n^(1/2). Podemos entao expressar P como um produto > de (m-1)/2 fatores do tipo d*(n/d) = n e de 1 fator igual a d*. Neste caso, > P = n^[(m-1)/2]* n^(1/2) = n^(m/2). Em qualquer gaso,temos entao que G = > P^(1/m) = n^(1/2) e que, portanto, G^2 = n. > > > > --------- Mensagem Original -------- > De: obm-l@mat.puc-rio.br > Para: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br> > Assunto: [obm-l] Medias e Divisores > Data: 28/10/04 12:24 > > E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares > da lista: > > Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores > positivos do inteiro positivo n. > Prove que A*H = G^2 = n. > > []s, > Claudio. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================