OK. Falha minha. No mais, pra quem quiser, aqui estah uma demonstracao do teorema de Lindemann, a que voce se referiu na msg anterior: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf
Alias, estas notas de aula sobre numeros irracionais e transcendentes sao bem interessantes (pelo menos as partes que eu consegui entender), especialmente pra quem nao tem o livro do Niven. Nelas voce tambem pode encontrar a demonstracao de que a sequencia das partes fracionarias de n*a (n inteiro e a irracional) sao uniformemente distribuidas em [0,1], o que estende o resultado jah discutido aqui na lista de que ela eh densa nesse intervalo. []s, Claudio. on 04.03.05 10:11, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Thu, Mar 03, 2005 at 12:41:00PM -0300, Claudio Buffara wrote: >>> Corolário do corolário: >>> Se x é racional, x diferente de 0, então cos(x) é irracional. >>> Se x é racional, x diferente de 1, então arccos(x) é irracional. >>> >> Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1. >> Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho >> que essas sao as unicos excecoes. > > Acho que não estamos nos entendendo. > > Se r = 1/2 então arccos(r) é de fato múltiplo racional de Pi > mas não era disso que eu estava falando na segunda parte da mensagem > nem foi esta a pergunta original. > > O que eu disse é que arccos(r) é irracional para r racional, > r diferente de 1, o que é correto exatamente como eu enunciei, > sem outras exceções além de r=1. Por exemplo, arccos(0) = pi/2 > é irracional pois pi é irracional. > > Se a pergunta for para quais racionais r temos que arccos(r) > é um múltiplo racional de pi então a resposta é que isto ocorre > exatamente para os valores que você listou: 0, +-1 e +-1/2. > A prova disso é bem simples. Se x é racional então > 2cos(pi x) = exp(i pi x) + exp(-i pi x) é um inteiro algébrico. > Assim se cos(pi x) for racional, 2 cos(pi x) deve ser racional > e inteiro algébrico, logo inteiro. Como -2 <= 2 cos(pi x) <= 2 > devemos ter cos(x) = 0, +-1 ou +-1/2. > > []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================