Oi, Marcio: Da pra provar ainda mais: que (1 + 1/n)^n < 3 para todo n.
Uma ideia legal eh expandir (1 + 1/n)^n usando o binomio de Newton, dar uma arrumada na expressao resultante e deduzir que ela eh limitada superiormente por: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!, a qual por sua vez eh limitada superiormente por: 1 + 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/(n-1) - 1/n) = 1 + 1 + (1 - 1/n) < 3. Dai usando a desigualdade MG < MA com os n+1 numeros: 1 + 1/n, 1 + 1/n, ..., 1 + 1/n, 1 (ou seja n numeros iguais a 1 + 1/n e 1 numero igual a 1) voce obtem: (1 + 1/n)^(n/(n+1)) < 1 + 1/(n+1) ==> (1 + 1/n)^n < (1 + 1/(n+1))^(n+1) ==> ((1 + 1/n)^n) eh crescente. Logo, ((1 + 1/n)^n) eh monotona crescente e limitada superiormente por 3. Assim, existe lim(n -> infinito) (1 + 1/n)^n. []s, Claudio. on 17.03.05 22:22, Marcio M Rocha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Boa noite, pessoal. > A questão abaixo também consta do Vol. 1 de "A Matemática do Ensino Médio". > Ela tem duas partes, das quais fiz a primeira. Gostaria de pedir que alguém > verificasse se está tudo OK. > > Parte 1) Prove que ((n + 1)/n) elevado a n <=n para todo n>=3. > > Para n = 3 temos (4/3)³ <=3 > > Solução > Supondo verdadeira para algum k>3: > > ((k + 1)/k) elevado a k <=k > > Multiplico a desigualdade acima por ((k + 1)/k) e obtenho > > ((k + 1)/k)elevado a (k + 1) <= k + 1 > > Só que quando k > 3, (k + 2)/(k + 1) <= (k + 1)/k, e daí: > > ((k + 2)/(k + 1)) elevado a (k + 1) < = ((k + 1)/k) elevado a (k + 1) > > Logo (((k + 1) + 1)/(k + 1)) elevado a (k + 1) <= k + 1 > > Parte 2) Use esse fato para mostrar que a seqüência > > 1, 2¹/2, 3¹/3, 4¹/4, ... > > é decrescente a partir do 3o termo. > > Esta parte ainda está saindo. > > Desculpem se são questões triviais para vocês. > > Abraços. > > Márcio. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================