Eric Campos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha >solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida... >Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu >recentemente na lista sobre ideais maximais.
Veja a prova do Claudio >QUESTAO: >Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas >definidas em [0,1] com as operacoes >soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x) >produto :(fg)(x)=f(x)g(x) >Prove que se M eh ideal maximal de A entao >existe a em [0,1] tal que >M=I, onde I={f em A:f(a)=0} > >SOLUCAO: >1. A=C[0,1] >2. M eh ideal maximal de A >3. I eh ideal maximal de A > (provado recentemente na lista) Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e tomando I como o ideal das funções que se anulam em a, correto? Isso já é uma particularização e tanto... >4. M+I eh ideal de A >5. I C M+I C A > (C significa esta contido) >6. M C M+I C A >7. ou (a) M+I=I > ou (b) M+I=M > ou (c) M+I=A > >(a) M+I=I >1a. M C I C A (de 6. e (a)) >2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal) >3a. I A (pois I eh maximal) > ( significa diferente) >4a. I = M (de 2a. e 3a.) >OK O que acontece nesta parte é que, da escolha arbitrária de a em [0,1] para "gerar" I, vale M + I = I se e só vc deu a tremenda sorte de escolher justamente o a em [0,1] tal que M é o ideal das funções que se anulam em a. >(b) M+I=M >1b. I C M C A (de 5. e (b)) >2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal) >3b. M A (pois M eh maximal) >4b. M = I (de 2b. e 3b.) >OK > >(c) M+I=A >1c. A/I eh corpo > (pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal) >2c. ou (ca) M C I > ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido) > >(ca) M C I >1ca. M C I C A (de ca.) >2ca. I = M ou I = A > (pois M eh maximal) >3ca. I <> A (pois I eh maximal) >(<> significa diferente) >4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.) >OK > >(cb) M C/ I >1cb. Tome f em M-I >2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1) > (pois A/I eh corpo e de 1cb.) Essa parte foi muito rápida... O fato é que existe g em A-I tal que (f + I)* (g + I) = (1 + I), ou seja, fg - 1 está em I. Porque necessariamente é fg - 1 = 0? Aliás, como é verdade que M é o ideal das funções que se anulam para algum b em [0,1], então nenhuma função em M pode ter inversa pela própria definição de (fg)(x) = f(x)*g(x). >3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal) >4cb. fg estah em M (de 3cb.) >5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.) >6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal) >7cb. I C M (de 6cb.) >8cb. M+I=M (de 7cb.) >9cb. M+I=A (de (c)) >10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.) >11cb. M A (pois M e maximal) >12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.) >13cb. M C I (de (cb) e 12cb.) >14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.) > >Uff... > >[]'s > >Eric. > > > > >__________________________________________________ >Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger >http://br.download.yahoo.com/messenger/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================