Boa Tarde Brunno Essa questão foi do concurso do Colégio Naval em 99. Seu texto original é o seguinte: "O número de triângulos que podemos construir com lados medindo 5, 8 e x, x pertencente aos Naturais não-nulos, de tal forma que o seu ortocentro seja interno ao triângulo é:"
Vamos lá Se o ortocentro pertence ao interior do triângulo, isso significa que o mesmo é necessariamente acutângulo. (lembre-se que ortocentro é a interseção das 3 alturas de um triângulo) Pela síntese de Clairaut, temos que para a, b e c lados de um triângulo acutângulo com "a" sendo o maior desses lados, então a^2 < b^2 + c^2. Primeiro, vamos supor que x >=8(maior ou igual a 8). Então x^2 < 8^2 + 5^2 --> x^2 < 89 As soluções da desiguladade acima para x Natural são x=9 e x=8. Lembre-se que supomos x sendo o maior dos lados, o que permite que o triângulo tenha lados 8, 8 e 5 e 9, 8 e 5. Agoras vamos supor x < 8. Então 8^2 < 5^2 + x^2 --> x^2 > 39. A solução é única, x=7, o que nos dá um triângulo de lados 8, 7 e 5. Daí, podemos construir apenas três triângulos com as características citadas no enunciado. Gabarito: A Abraços Paulo Cesar ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================