Outra solucao que é bem manjada é 1^2 = (1+0)^2 = 1^2 +2*1*0+0^2 (1+1)^2 = 1^2 +2*1*1+1^2 . . . (1+n)^2 = 1^2 +2*1*n+n^2
Dai vc soma todas as equacoes e chega no resultado --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Ontem alguém perguntou aqui na lista como se > demonstrava a fórmula da soma dos quadrados dos > primeiros n inteiros positivos. > > Eu diria que 99% das pessoas usaria indução, o que > além de ser mecânico e sacal, não ilustra o que > realmente ocorre no problema e, o que é pior, se a > fórmula não for conhecida (ou seja, se o problema > for "deduza a fórmula da soma dos quadrados dos n > primeiros inteiros positivos") vai ser difícil > adivinhar qual é ela usando apenas indução. > Naturalmente, uma vez que você tenha "adivinhado" > uma fórmula, possivelmente olhando casos > particulares, você pode usar indução para confirmar > seu palpite. > > Eu sempre sou favorável a uma demonstração > combinatória, onde contamos o número de elementos de > algum conjunto de duas formas distintas. > > No caso, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 é o número de > elementos de que conjunto? > > Por exemplo, considere todos os ternos ordenados > (a,b,c) de elementos do conjunto {1,2,...,n,n+1} > tais que a > b e a > c. > > É claro (ou deveria ser pra quem participa dessa > lista) que se a = 1, o número de tais ternos é zero, > se a = 2, o número é 1*1 = 1, se a = 3, o número é > 2*2 = 4. Em geral, se a = k+1, então teremos k > possibilidades para b (b pode ser 1, 2, ... ou k) e > k para c, de modo que teremos k^2 ternos nas > condições do enunciado. > > Assim, fazendo a variar de 1 a n+1, obteremos o > número de ternos nas condições do enunciado: 0^2 + > 1^2 + 2^2 + ... + n^2, ou seja, justamente a soma > desejada. > > Agora, um terno nas condições do enunciado só pode > ser de três tipos: > (a,b,c) com a > b > c; > (a,b,c) com a > c > b; > (a,b,c) com a > b = c. > > O número de ternos de cada um dos dois primeiros > tipos é igual a: > Binom(n+1,3) (por que?) > > O número de ternos do terceiro tipo é Binom(n+1,2) > (por que?). > > Logo, o número total de ternos nas condições do > enunciado é: > 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) = > 2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 = > n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) = > n*(n+1)*(2n+1)/6. > > Ou seja, 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6. > > []s, > Claudio. > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================