On Wed, Apr 06, 2005 at 03:58:30PM -0300, claudio.buffara wrote: > Por exemplo, é possível dar uma demonstração combinatória da identidade > abaixo, que foi uma questão da famosa e difícil prova do IME de 1980/81. > > SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1). > > Agora, quero ver alguém provar isso algebricamente...
O fato (que não é difícil) que você deve conhecer para fazer isto algebricamente é que f_m(x) = x^m/(1-x)^(m+1) = soma_k binom(k,m) x^k. Assim o lado direito A é o coeficiente de x^n em (f_m(x))^2 = x^(2m)/(1-x)^(2m+2) = (1/x) f_(2m+1)(x). Portanto A é o coeficiente de x^(n+1) de f_(2m+1), ou seja, A = binom(n+1,2m+1). Mas eu concordo com o Claudio, prefiro a demonstração combinatoria. Alias, foi a que eu usei na prova (este foi o meu ano, e eu prestei o vestibular do IME, mas acabei não entrando lá). []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================