on 07.04.05 22:22, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ola pessoal. > Me deparei com o seguinte problema: > Seja X = (x[n]) uma sequencia limitada em R. > Prove que se L é o conjunto dos v pert R tal que exista uma subsequencia > de X que converge para v, entao limsup(x[n]) = sup L > > Bom o que eu consegui até agora foi isso: > Suponha que exista uma subsequencia que convirja para um numero v maior > do que limsup(x[n]). > Ora, como v é limite de uma subsequencia de (x[n]) entao existem > infinitos termos da sequencia que estao no intervalo (v-eps, v+eps) para > qualquer eps > 0. Em particular existem infinitos indices n tal que > x[n] > limsup(x[n]), mas isto é uma contradicao pois limsup(x[n]) é > justamente o menor elemento de (x[n]) tal que existam apenas um numero > finito de elementos de (x[n]) maior do que ele. > > Acredito que eu mostrei aqui que limsup(x[n]) é apenas um limitante > superior para L certo? Como eu mostro que ele é o menor limitante > superior (e portanto o sup) de L ? > Seja a = limsup(x(n)).
Se a nao for limite de uma subsequencia de (x(n)) entao existe eps > 0 tal que o intervalo (a - eps,a + eps) nao contem termo algum de (x(n)). Isso quer dizer que existe N tal que n >= N ==> x(n) <= a - eps, pois voce jah provou acima que existe no maximo uma quantidade finita de indices n tais que x(n) >= a + eps. Logo, a(N) = sup{x(n) | n >= N} <= a - eps. Em particular, a(N) nao pode convergir para a ==> contradicao, pois lim(N -> inf) a(N) = a (lembre-se da definicao de limsup) Portanto, existe uma subsequencia de (x(n)) convergindo para a. Como nenhuma subsequencia pode convergir para algum real maior do que a, concluimos que a = sup(L). []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================