Eu acho que esta f é uma "contração fraca", ou seja, ||f(x) - f(y)|| <
||x-y||. Acho que não existe uma k em [0, 1) tal que valha a
desigualdade das contrações, justamente porque a f vai ficando cada
vez mais "linear" quando <x,x> fica perto de 1...
(Bom, acabei de ver: use y=0 e x = u(1-eps) onde u é um unitário e
eps->0. Isso nos dá uma desigualdade acima com 1-eps < k < 1, para
todo eps... então não dá para ser uma contração forte - aquela que tem
um k < 1 - mas acho que ainda assim o argumento só usa contração
fraca)
Té mais,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Apr 8, 2005 1:43 AM, Ronaldo Luiz Alonso
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >Meu caro Ronaldo,
> >acho que seu argumento que f é uma contração na bola
> >B(0,1) não está correta, pois não por enquanto não
> >temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)||
> ><= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse
> >hipótese, também não fiquei convensido que ela
> >injetiva e não adimite inversa diferenciável!!
> >Sem mais.
>
> Acho que você como matemático está certo em
> julgamento. De fato, matemáticos querem
> sempre coisas precisas. A intuição ajuda muito
> mas não convence :)
>
> Deixa-me tentar novamente:
> Acredito que a constante k pode ser obtida pela
> desigualdade triangular.
> ||f(x) + (- f(y))|| <= ||f(x)|| + ||-f(y)|| = ||<x,x>x|| +
> ||<y,y>y|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3
>
> como ||x||<1 e ||y|| < 1, então ||x||^3+||y||^3 < ||x||+||y||
> <||x|| - ||y|| (pois a norma é sempre positiva).
> então qualquer 0 <= k < 1 satisfaz a desigualdade.
>
> Está certo?
>
> Falta tempo para eu examinar melhor as
> idéias (e talvez também competência minha,
> para firmá-las).
> []s e saudações.
>
>
> --- Ronaldo Luiz Alonso
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > ---------------------
> > 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x.
> > Mostre que f é de classe C infinito e que leva a
> > bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
> > Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é
> > diferenciável na origem.
> >
> > Neste caso se x \in B(0;1) então <x,x> = ||x|| e
> > 0<||x|| < 1. Logo a aplicação é uma contração de
> > x.
> > A contração é diferenciável e de classe
> > C^{\infty}.
> > É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação
> > seja
> > injetiva. Por exemplo: Vetores próximos da
> > fronteira
> > tem norma 1 e portanto serão "pouco contraídos".
> > Assim a demonstração de injetividade usa esse
> > fato,
> > isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da
> > fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
> > que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.
> > Como ||x|| é sempre menor que 1
> > esses pontos tem que ser diferentes.
> > Para entender por que a aplicação não é
> > diferenciável
> > na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor
> > estiver da origem mais contraído será" na aplicação
> > direta.
> > (reciprocamente na aplicação inversa mais
> > expandido
> > será). A origem é uma espécie de "buraco
> > negro ao contrário" logo não pode ter derivada
> > lá. Argumentos do teorema de função implícita podem
> > ajudar.
> > Novamente sem rigor... apenas com idéias.
> >
> > []s Ronaldo L. Alonso
> >
>
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