Obrigado Cláudio. Nada substitui o talento. Seu contra-exemplo em R^1 já seria suficiente provar não diferenciabilidade da inversa no caso geral. A transformação linear a que você se refere, poderia ser considerada a matriz Jacobiana (isto é a matriz das primeiras derivadas parciais) na expansão de Taylor de f(x). Neste caso, poderíamos tentar usar este fato achar uma constante k e provar que f se comporta como uma contração como eu havia mencionado no conjunto B(0;1) - {0}, mas isso não funcionaria pois f é uma contração fraca (justamente pelo fato de ser f não linear).
[]s Ronaldo L. Alonso. ----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <obm-l@mat.puc-rio.br> Sent: Friday, April 08, 2005 10:23 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cálculono R^n Injetiva: f(x) = f(y) ==> <x,x>x = <y,y>y. Se x = 0, entao <y,y>y = 0 e isso se e soh se y = 0. Se x <> 0, entao <x,x> > 0 e x = <y,y>/<x,x>y. y nao pode ser 0, pois nesse caso teriamos x = 0, uma contradicao. Logo, <y,y> > 0 e x = ky, onde k = <y,y>/<x,x> > 0. Assim, <x,x> = <ky,ky> = k^2<y,y> ==> 1/k^2 = <y,y>/<x,x> = k ==> k^3 = 1 ==> k = 1, pois k eh real ==> x = y ==> f eh injetiva. Mesmo em R^1 a inversa nao eh diferenciavel, pois nesse caso f(x) = x^3 e a inversa g(x) = x^(1/3) nao eh diferenciavel na origem. Seja g: R^n -> R^n a inversa de f. Entao, g(y) = y/<y,y>^(1/3) se y <> 0 e g(0) = 0. Pode fazer as contas. Se g for diferenciavel na origem, vai existir uma transformacao linear T tal que: g(h) = g(0) + T*h + r(h), tal que r(h)/|h| -> 0 quando h -> 0 ==> r(h) = h/<h,h>^(1/3) - T*h. Tome h da forma k*e_1, onde k eh real e e_1 = (1,0,0,...,0). Entao, h/<h,h>^(1/3) = k^(1/3)*e_1 e T*h = k*(t_1,t_2,...,t_n), onde os t_i dependem de T. Logo, r(h) = (k^(1/3) - k*t_1,-k*t_2,...,-k*t_n). |h| = raiz(<h,h>) = |k| ==> r(h)/|h| = (k^(1/3)/|k| - kt_1/|k|,-kt_2/|k|,...,-kt_n/|k|). Quando k -> 0 (e portanto |h| -> 0), as coordenadas 2, 3, ..., n soh terao limite se t_2 = t_3 = ... = t_n = 0. Mesmo nesse caso, k^(1/3)/|k| - kt_1/|k| eh ilimitada numa vizinhaca de zero, de modo que r(h)/|h| nao tende a zero. Ou seja, g nao eh diferenciavel na origem. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================