On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote: > Como se encontra o valor numérico de cos80°? > > Essa é uma boa pergunta. 80 = 60 + 20. > cos e sen de 60 você sabe. > O problema é achar cos e sin de 20. > Para isso você tem que aplicar a fórmula do arco triplo. > E aí você tem uma equação do 3 grau. > > Não é uma boa saída tentar resolver a bendita! > > A menos > que você use fórmulas para raízes cúbicas de números complexos, > pois na fórmula deste tipo de equação cúbica o valor que aparece na > raiz quadrada é *negativo* (a equação tem uma única solução real) e > duas complexas conjugadas).
Peço desculpas por quebrar esta resposta em duas mensagens, mas não tinha prestado atenção a esta parte e se eu entendi bem há alguns erros. É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos (z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo, feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais: 2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.532088886 e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos para o maple resolver a cúbica, ele dá 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) 2 ----------------- + ----------------- 2 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) e outras duas raízes com expressões mais complicadas. Acho que vale a pena mostrar o que acontece com a formula para resolver a cúbica. Considere a equação do segundo grau y^2 + by + c = 0, com raízes y1 e y2. Sabemos que y1+y2 = -b, y1y2 = c. Seja S = cbrt(y1) + cbrt(y2) (onde cbrt significa raiz cúbica). Temos S^3 = y1 + 3 y1^(2/3) y2^(1/3) + 3 y1^(1/3) y2^(2/3) + y2 = (y1+y2) + 3(y1y2)^(1/3)(y1^(1/3) + y2^(1/3)) = -b + 3 cbrt(c) S. Ou seja, S^3 - 3 cbrt(c) S + b = 0. Fazendo b = -1 e c = 1, temos que S satisfaz a equação para z. Assim, z = cbrt(y1) + cbrt(y2), onde y1 e y2 são as raízes de y^2 - y + 1. Ou seja, y1 = (1 + sqrt(-3))/2, y2 = (1 - sqrt(-3))/2. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================