Nao estah no seu enunciado, estou pressupondo que A, B e C estejam alinhados
(senao, o problema muda).
Sejam X e Y os dois pontos que voce escolheu. Escreva AX=x e YC=y. Basicamente,
x eh escolhido de uma distribuicao uniforme em [0,a] e y eh escolhido de uma
distribuicao uniforme em [0,b]; fica implicito no problema que as escolhas de x
e y sao independentes. A questao eh se x, y, a+b-(x+y) satisfazem as
desigualdades triangulares:
x+y > (a+b)-(x+y) (isto eh, x+y>(a+b)/2)
x+(a+b)-(x+y) > y (isto eh, y<(a+b)/2)
y+(a+b)-(x+y) > x (isto eh, x<(a+b)/2)
Para enxergar isto geometricamente, desenhe um plano xy. O problema eh
equivalente a escolher "aleatoriamente" um ponto no retangulo determinado por
0<x<a e 0<y<b, e verificar a probabilidade de ele estar na regiao representada
pelas 3 restricoes acima. Faca uma figura e compare as areas (pode fazer isto
pois estou pressupondo que x e y serao escolhidos no retangulo via distribuicao
uniforme). Supondo que a>b sem perda de generalidade, as 3 restricoes
determinam um triangulo retangulo isosceles dentro do retangulao -- vertices em
(m,0), (m,b) e (m-b,b), onde m=(a+b)/2; soh para te localizar, a hipotenusa,
que eh parte da reta x+y=m, deve passar bem no centro do retangulo, e fazer 45
graus com os lados.
A probabilidade desejada eh a area deste triangulo sobre a area do retangulo,
isto eh, (b^2/2)/(ab), ou, enfim, b/2a. (Se fosse b>a, troque a probabilidade
para a/2b).
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of carlos Eugenio souto
Sent: Wed 4/13/2005 7:59 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Subject: [obm-l] exercicio de probabilidade do gnedenko ( dificil)
Olá
Estou estudando pelo livro The theory of probability do B. V. Gnedenko.
É um livro ótimo que recomendo fortemente. Mas tem exercícios muito dificeis.
Aqui mando um que não estou conseguindo resolver. Qualquer ajuda é bem vinda.
Um ponto é jogado aleatoriamente sobre um segmento de reta AB de
comprimento a. Um outro ponto é jogado sobre um segmento de reta BC de
comprimento b. Qual a probabilidade de que um triangulo possa ser construido a
partir das linhas:
1) linha que vai do ponto A ao primeiro ponto jogado
2)linha entre os dois pontos que foram jogados
3)do segundo ponto jogado ao ponto C
Obrigado
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