Você trocou o sinal das desigualdades, essa solução está errada..
Segue uma solucao absurdamente feia (mas aparentemente correta) para o problema (desafio qualquer um a achar uma solução mais feia :))
Problema: a<=1^2, a+b<=1^2+2^2, a+b+c<=1^2+2^2+3^2, a+b+c+d<=1^2+2^2+3^2+4^2 =>
sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)<=1+2+3+4
Solução:
Para a,b,c fixos, ponha x = d e analise f(x) = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(x), 0<=x<=30-a-b-c. Essa eh uma funcao crescente, e portanto seu máximo ocorre quando x = 30-a-b-c, i.e, a+b+c+d=30.
Agora troque c por x. Para a,b fixados, voce tem 0<=x<=14-a-b, d=30-x-a-b e olhando para
g(x) = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(x)+sqrt(30-x-a-b),
2g'(x) = 1/sqrt(x) -1/sqrt(30-x-a-b)
Observe que g eh crescente de x=0 ateh x=15-(a+b)/2. Como a+b>0, 14-(a+b) < 15-(a+b)/2 e portanto o máximo dentro da restrição ocorre quando x=14-(a+b), i.e, a+b+c=14 e portanto d = 16.
Agora voce tem um novo problema.. Basta mostrar que
a<=1^2, a+b<=1^2+2^2, a+b+c<=1^2+2^2+3^2 => sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)<=1+2+3
Pronto, é só repetir o raciocínio para concluir que c=9, b=4 e a=1 dão o valor máximo da soma pedida.
Obs: Essa demonstração não pode ser adaptada fielmente para uma versão desse problema com 5 letras. Ficam então duas perguntas: Qual o maior valor de n tal que a_1+...+a_k <=1^2+...+k^2 para k=1,2,..,n sempre implica sqrt(a1)+...+sqrt(an)<=1+2+...+n?
----- Original Message ----- From: "Luiz Felippe medeiros de almeida" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, April 21, 2005 10:46 PM
Subject: Re: [obm-l] Duvida
Olá Fernado , acho q consegui fazer o problema que vc pediu. Lá vai: a<=1 a+b<=5 ==> b<=5-a ==> b<=4 ==> sqrt(b)<=2 a+b+c<=14 ==> c<= a+b ==> c<= 14-4-1 ==>sqrt(c)<=3 a+b+c+d<=30 ==> d<=30-a-b-c==> d<=30-1-4-9 => sqrt(d)<=4 Logo somando todas as equações temos : sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c) + sqrt(d) <=10 Abraço Luiz Felippe Medeiros
On 4/21/05, Fernando <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
a <= 1 a+b <= 5 a+b+c <= 14 a+b+c+d <= 30 Prove: sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d) <= 10
Desde ja agradeço []'s
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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