Caro Tertuliano, Da' para provar que f é contínua num conjunto denso. Mais do que isso, f tem que ser contínua num conjunto residual, i.e., que contém uma interseção enumerável de abertos densos em [0,1] (lembremos do teorema de Baire: toda interseção enumerável de abertos densos (em R ou num intervalo, entre muitas outras situações) é densa). Para isso, basta mostrar que para todo n natural o conjunto F_n dos x em [0,1] tais que a oscilaçao de f no ponto x, definida por w(f,x)=lim(h->0)(sup(f|[x-h,x+h])-inf(f|[x-h,x+h])) e' >= 1/n é um fechado (isto e' facil e eu deixo como exercício) de interior vazio (note que a unico dos F_n é o conjunto dos pontos de descontinuidade de f). Para isso, se houver um intervalo (a,b) contido em F_n, definimos, para cada k inteiro, X_k={x em (a,b) | k/4n<=f(x)<(k+1)/4n}. Pelo teorema de Baire, o fecho de X_k deve ter interior não vazio para algum k, senão a união dos fechos dos X_k seria uma união enumerável de fechados com interior vazio, e logo não poderia conter (a,b). Suponha que o fecho de X_k contém (c,d), que está contido em (a,b). Para todo x em X_k, como w(f,x)>=1/n, x pertence a A ou a B, onde A={x| f(x)<(k+1)/4n e para todo h > 0 existe u em (x-h,x+h) com f(u)>(k+2)/4n} e B={x| f(x)>=k/4n e para todo h > 0 existe u em (x-h,x+h) com f(u)<(k-1)/4n}. Assim, o fecho de A ou o fecho de B tem interior não vazio em (c,d). Suponhamos que o fecho de A contenha (s,t), que está contido em (c,d). Como f_n tende a f pontualmente, e os f_n são contínuos, dado um intervalo I=(z,w), com (k+1)/4n<=z<w<=(k+2)/4n, para todo h>0 existe N natural tal que para todo n>=N existe um intervalo J contido em (x-h,x+h) com f_n(J)=I. Fazendo I_1=((k+1)/4n,(3k+4)/12n) e I_2=((3k+5)/12n,(k+2)/4n), segue que, para todo N natural, os conjuntos Y_N={y em (s,t)| existe n>=N t.q. f_n(y) pertence a I_1} e Z_N={z em (s,t)| existe n>=N t.q. f_n(z) pertence a I_2} são abertos e densos em (s,t), de modo que (de novo pelo Baire), a interseção W dos Y_N e dos Z_N (para N natural) é densa (de fato residual) em (s,t). Entretanto, dado w em W, o limite f(w) de f_n(w) deveria pertencer simultaneamente ao fecho [(k+1)/4n,(3k+4)/12n] de I_1 e ao fecho [(3k+5)/12n,(k+2)/4n] de I_2, mas isso é um absurdo, pois esses intervalos não se intersectam. Abraços, Gugu
> >Olá para todos!! > >Um professor me propos a seguinte questao: > >Considere uma sequencia f_n:[0,1] em R, de funcoes >continuas convergindo pontualmente para f:[0,1] em R. >Mostrar que f é continua em muitos pontos do intervalo >[0,1]. >(na realidade, desconfio q f seja continua em um >conjunto denso no intervalo [0,1]). > >Grato por qualquer soluçao e/ou comentario. > > >Obs.: o objetivo é mostrar q nao existe uma sequencia >de funcoes continuas convergindo pontualmente para a >funcao caracteristica dos irracionais, que é um >exercicio do Elon. Como essa funcao caracteristica é >descontinua nos irracionais, mostrar o que foi >proposto acima resolve o problema. > >______________________________________________________________________ > >Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! >http://br.download.yahoo.com/messenger/ >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================