on 30.04.05 13:57, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Seja C uma curva plana convexa e fechada (de classe C^1). Considere um > segmento que desliza sobre C (com extremidades em C e comprimento fixo) at > dar uma volta completa. Considere a curva K descrita por um ponto P do > segmento, situado a distndias a e b das extremidades. Mostre que a rea da > regio compreendida entre C e K pi*a*b. > > []s, > Daniel > Legal esse problema. Aqui vai minha tentativa de solucao heuristica.
Se C for uma circunferencia, a demonstracao sai facil usando a potencia de P em relacao a C. Naturalmente, P irah descrever uma circunferencia de raio d concentrica com C, cujo raio eh r. Chamando o segmento de XY e o diametro contendo P de AB, teremos: |XP|*|PY| = |AP|*|PB| ==> a*b = (r-d)*(r+d) ==> r^2-d^2 = a*b ==> Area Desejada = pi*(r^2 - d^2) = pi*a*b. Em particular, tomando um elemento de area dS, correspondente ao setor circular de C subtendido por um angulo dt, teremos que: dS = (1/2)*(r^2-d^2)*dt = (1/2)*a*b*dt. No caso geral, como C eh uma curva plana convexa fechada de classe C^1, ela eh localmente uma circunferencia (no sentido de que, para efeitos de calculo de curvatura e area, podemos desprezar os termos de ordem >= 3), de modo que, no arco de C delimitado pelo segmento, vai existir um ponto A tal que A, P e O sao colineares (O = centro de curvatura relativo ao ponto A). A medida que o segmento desliza, o ponto A varia continuamente (pois C eh de classe C^1) e, apos uma volta completa (2pi radianos) do vetor curvatura (ligando A a O) volta a posicao original (pois C eh fechada). Alem disso, P ficarah sempre entre A e O (pois C eh convexa), de modo que o integrando (elemento de area) nunca muda de sinal, permanecendo sempre positivo. Dai, usando o resultado estabelecido pra circunferencias, achamos que a area desejada eh igual a: Integral(0...2pi) (1/2)*(r^2 - d^2)*dt = (1/2)*2*pi*a*b = pi*a*b. Agora, eh soh formalizar essa baboseira que eu escrevi acima. []s, Claudio. ========================================================================= Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================