on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Obrigado Claudio. > Alias, sobre a sua afirmativa "u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1 > autovalores são iguais a 0." veja, por gentileza, se o meu argumento > esta correto: > > Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira > A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en > onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes. > Como A tem posto 1 e os autovalores sao l.i só se pode ter um autovalor > diferente de 0. > Essa expressao para A nao me parece obvia a priori. Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.? Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0).
> Voce provaria de outra maneira? > O nucleo de A eh um subespaco de R^n. Posto(A) = 1 ==> dim(Nucleo(A)) = n-1 (teorema do nucleo e da imagem) Logo, Nucleo(A) tem uma base (de fato, uma infinidade de bases) com n-1 vetores. Para qualquer vetor v dessa base (de fato, qualquer vetor do nucleo), vale Av = 0 = 0v, ou seja, cada vetor da base eh um autovetor associado ao autovalor 0. Como a base tem n-1 vetores L.I., o autovalor 0 tem multiplicidade >= n-1. O n-esimo autovetor eh u (ou qualquer multiplo escalar nao nulo de u), com autovalor associado igual a |u|^2 > 0 (a menos que u = 0, mas nesse caso A seria a matriz nula). Logo, a multiplicidade do autovalor 0 eh n-1. Se A = 0, entao 0 eh autovalor de multiplicidade n e o auto-espaco associado eh todo o R^n. []s, Claudio. > Abraços > > > claudio.buffara wrote: > >> Oi, Niski: >> >> Estou supondo que u é um vetor coluna do R^n. >> Nesse caso, a matriz u*u' tem o elemento (i,j) igual a u(i)*u(j) >> (produto da i-ésima e j-ésima componentes de u). >> Ou seja, a i-ésima linha de u*u' é igual a u(i)*u. >> Logo, u*u' tem posto 1 e, portanto, n-1 autovalores são iguais a 0. >> Multiplicando u*u' por u, obtemos (u(1)^2 + ... + u(n)^2)*u. >> Logo, u é autovetor com o autovalor associado igual a: >> u(1)^2 + ... + u(n)^2 = |u|^2. >> >> []s, >> Claudio. >> >> De: [EMAIL PROTECTED] >> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Cópia: >> >> Data: Fri, 29 Apr 2005 15:22:27 -0300 >> >> Assunto: [obm-l] autovalores , autovetores >> >>> Pessoal, como eu resolvo este problema: >>> >>> "Encontre os autovalores e autovetores de uma matriz A = u.u', onde u >>> pert R^n" >>> (notacao: u' = "u transposto") >>> >>> Sem precisar recorer a resolver equacoes genericas escabrosas (isto é >>> sem recorrer ao artificio das raizes da eq. det|A - cI| = 0) >>> >>> >>> Obrigado. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================