Sejam: R = conjunto dos numeros reais; Q = conjunto dos numeros racionais; A = conjunto dos numeros algebricos reais (reais que sao raizes de algum polinomio com coeficientes inteiros); X+ = conjunto dos elementos positivos de X (X = R, Q ou A).
Sabemos que os grupos (R,+) e (R+,*) sao isomorfos (soma e produto usuais de numeros reais). Um isomorfismo eh, por exemplo, a funcao exponencial. Uma pergunta interessante eh: existe algum isomorfismo entre estes grupos que nao seja uma funcao do tipo f(x) = a^x, com a positivo e <> 1? A resposta (negativa) eh dada pela solucao do seguinte problema, que jah apareceu aqui na lista ha tempos, mas como recordar eh viver...: Seja f uma funcao real tal que f(0) = 1, f(1) = a > 0 e, para quaisquer x e y reais, f(x+y) = f(x)*f(y). 1) Prove que, para todo racional r, f(r) = a^r; 2) Prove que f eh continua; 3) Prove que f eh diferenciavel; 4) Conclua que f(x) = a^x, para todo x real. Voltando aos isomorfismos, nao eh dificil mostrar que (Q,+) e (Q+,*) nao sao isomorfos. (dica: se f eh um isomorfismo e f(a) = 2, quem eh f(a/2)?) O problema acima (mais precisamente, o item 1) tem um corolario interessante, que nao pode ser demonstrado apenas com o argumento simples usado no caso dos racionais: (A,+) nao eh isomorfo a (A+,*). (de fato, eu acho que precisa usar o teorema de Gelfond-Schneider: se a eh um algebrico diferente de 0 e 1 e b eh um algebrico irracional, entao a^b eh transcendente). Alias, um bom exercicio eh provar que estes dois grupos sao realmente grupos, ou seja, que a soma de dois algebricos reais eh um algebrico real e o produto de dois algebricos reais positivos eh um algebrico real positivo. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================