De: | [EMAIL PROTECTED] |
Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
Cópia: |
Data: | Mon, 9 May 2005 09:59:14 -0300 |
Assunto: | Re: [obm-l] Mais Isomorfismos |
> On Fri, May 06, 2005 at 10:31:32PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> > on 06.05.05 17:22, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> > > On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> > >> Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos
> > >> complexos?
> > >
> > > Sim, ambos são Q-espaços vetoriais de mesma dimensão (card(R)).
> >
> > Como eh que se demonstra que dois espacos vetoriais sobre o mesmo corpo com
> > mesma dimensao infinita sao isomorfos? Onde entra o axioma da escolha? Soh
> > na existencia das bases?
>
> Em geral, você precisa do axioma da escolha para provar que espaços vetoriais
> de dimensão infinita têm bases. Nestes casos particulares (C e R como Q-e.v.)
> eu sei que você precisa de alguma versão do axioma da escolha. É consistente
> com ZF (teoria dos conjuntos usual sem o axioma da escolha) que todo
> subconjunto de R seja Lebesgue mensurável. No entanto é fácil, dada uma base
> para R como Q-e.v., construir um subconjunto A de [0,1] tal que uma união
> disjunta de uma quantidade infinita e enumerável de transladados de A
> contém [b,c] e está contida em [a,d], a
>
Noutro dia, eu mandei pra lista um problema onde uma quantidade enumerável de transladados de um subconjunto A de [0,1] contém (e portanto é igual a) toda a reta mas, no caso, acho que não dava pra construir o A explicitamente.
> Por outro lado eu não sei dizer se é possível construir o isomorfismo
> que você pediu inicialmente sem o axioma da escolha.
>
E no caso enumerável, será que dá?
Por exemplo, existe alguma bijeção f: (Z,+) -> (Z,+)x(Z,+) tal que:
f(x+y) = f(x)+f(y)?
E se existe alguma, ela pode ser exibida?
> Quanto a sua outra pergunta, sejam V1 e V2 dois espaços vetoriais sobre
> o mesmo corpo K. Sejam B1 e B2 bases de V1 e V2, respectivamente. Seja
> f: B1 -> B2 uma bijeção. Então podemos estender f de forma unica a uma
> transformação linear F: V1 -> V2 e não é difícil provar que F é isomorfismo.
>
Eu me lembro de já ter visto uma construção desse tipo usando o lema de Zorn num teorema sobre a extensão de um isomorfismo entre corpos. Vou dar uma pesquisada.
> Falando neste tipo de coisa, quase todos os espaços vetoriais de dimensão
> infinita que aparecem em análise funcional têm dimensão (no sentido algébrico)
> igual a c, o cardinal de R.
Imagino que sejam espaços de funções reais ou complexas.
Um outro teorema bem mais difícil e profundo
> diz que quaisquer dois espaços de Banach de dimensão infinita e separáveis
> são homeomorfos. O porém é que o isomorfismo como espaço vetorial é muito
> descontínuo e o homeomorfismo não é linear. Assim dois espaços de Banach
> em geral (com hipóteses bem razoáveis) são isomorfos no sentido algébrico
> e são homeomorfos, mas nem por isso são isomorfos como espaços de Banach.
>
Isso ainda é muito avançado pra mim...
Obrigado pelas explicações.
[]s,
Claudio.