S1=n*(n+1)/2 (1) S2=n(n+1)*(2n+1)/6 (2) S3=S1^2 (3) Sj=soma da jesima potencia dos n primeiros numeros naturais
a)=S1 b)=S2 c)=S3 e) >e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...+n^2=(2*1)^2+(2*2)^2+(2*3)^2+,,,(2*n/2)^2= =4*(1^2+2^2+3^2+...+(n/2)^2) Usando a formula (2) =4*(n/2)(n/2 +1)(n+1)/6 =n(n+2)(n+1)/6 Analogamente a letra e f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...+n^3=8(1^3+2^3+3^3+...+(n/2)^3) Usando a formula 3 =8*((n/2)(n/2 +1)/2)^2=(1/8)(n(n+2))^2 h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2) calculando cada parcela separadamente: 1^2 3^2=(2+1)^2=2^2+2*2*1+1^2 5^2=(4+1)^2=4^2+2*4*1+1^2 . . (2n+1)^2===(2n)^2+2*2n*1+1^2 somando tudo (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2)=[2^2+4^2+...(2n)^2] + [2*(2+4+...+2n) ]+n+1 1a parcela [2^2+4^2+...(2n)^2]=4*n(n+1)*(2n+1)/6 =(2/3)*n(n+1)*(2n+1) 2a parcela =4*(1+2+3+...+n)=4*n*(n+1)/2 =2*n*(n+1) somando tudo =(n+1)*[(2n+1)n*(2/3 )+2n +1] (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...(2n+1)^2)=[=(n+1)(2n+1)(2n/3 +1)= =(2n+1)(2n+2)(2n+3)/6 > i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...+(2n+1)^3) A letra i e analoga a letra h so que desta vez vc vai ter que expandir cubos, ou seja 1^3=1^3 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1^3 5^3=(4+1)^3=4^3+3*4^2*1+3*4*1^2+1^3 . . (2n+1)^3===(2n)^3+3*(2n)^2*1+3*(2n)*1^2+1^3 somando os dois lados das desigualdades. [2^3+4^3+...+(2n^3)] + 3[2^2+4^2+...+(2n)^2] +3[2+4+...+2n]+(n+1)= =8(1^3+2^3+...+n^3)+12(1^2+2^2+3^2...+n^2) + 6(1+2+3+...+n)+(n+1)= =8[n*(n+1)/2]^2 +12*n(n+1)*(2n+1)/6 +6*n*(n+1)/2 +(n+1)= =(n+1)*[2n(n+1) + 2n*(2n+1) +3n +1]=(n+1)[(2n+1-1)(n+1)+2n(2n+1)+3n+1]= =(n+1)[(2n+1)(n+1)+2n*(2n+1) + 2n]= =(n+1)[(2n+1)(3n+1) +2n]= =(n+1)[(2n+1)(3n+2) -1] ou =(n+1)(6n^2+7n+1)=(6n+1)*(n+1)^2 Que e o resultado procurado Um abraço, saulo. As deducões das formulas 2 e 3 ja foram mostradas na lista diversas vezes mas se vc quiser e so pedir que eu faço de novo. On 5/9/05, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá, pessoal ! > > 1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas > indicadas > > a) (1 + 2 + 3 + ...) > b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...) > c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...) > > d) (2 + 4 + 6 + ...) > e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...) > f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...) > > g) (1 + 3 + 5 + ...) > h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...) > i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...) > > Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não > precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver. > > > []`s > Rafael ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================