on 13.05.05 13:48, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Oi Claudio, > Qual e' esse problema 26 da secao 2.5 ? Provar que se um grupo abeliano possui subgrupos de ordens m e n, entao ele possui um subgrupo cuja ordem eh mmc(m,n). Isso eh facil de provar (usando apenas o teorema de Lagrange e a formula |HK| = |H|*|K|/|H inter K|, onde H e K sao subgrupos) se m e n sao primos entre si ou se os subgrupos de ordens m e n sao ciclicos. Eu conheco uma demonstracao do caso geral que usa o teorema de Sylow: se p^k || |G| entao G tem um subgrupo de ordem p^k. Assim, se |H| = m e |K| = n, entao para cada potencia de primo p^k tal que p^k || mmc(m,n), tome o subgrupo A_p de H ou K, conforme o caso, tal que |A_p| = p^k. O subgrupo desejado eh Produto(p | mmc(m,n)) A_p. Mas o que o livro pede eh uma demonstracao que nao use nenhum resultado mais profundo do que os dois que eu mencionei acima e nem mesmo alguma construcao de grupo quociente. > Gostei muito do exemplo do Nicolau. Eu pensei em alguns outros depois de > responder a mensagem, por exemplo, um grupo G gerado por a e b com b de ordem > 2 e sem outras relacoes. O conjunto H dos elementos cuja representacao > simplificada e' uma palavra formada pelas letras a, a^(-1) e b tal que o > numero de a's nas suas k primeiras letras e' sempre maior ou igual ao numero > de a^(-1)'s, para todo k, e' um subgrupo Entao, pelo que eu entendi, ababa^(-1) estah em H mas (ababa^(-1)) = aba^(-1)ba(-1) nao estah. Eh isso mesmo? > e aHa^(-1) esta' estritamente > contido em H - senao b=axa^(-1) para algum x em H, mas x tem que ser > a^(-1)ba, que nao esta' em H. > Outro exemplo e' G={bijecoes crescentes de R > em R} e H={f(x) em G tal que lim (x->+oo) f(x)/x existe e e' racional > positivo}. Se a=a(x)=x^3, afa^(-1)(x)=f(x^(1/3))^3, e, se f(x)/x tende a c > racional positivo entao afa^(-1)(x)/x tende a c^3, que tambem e' racional > positivo. Por outro lado, f(x)=2x pertence a H, mas se afa^(-1)(x)=2x entao > f(y)=2^(1/3).y, que nao pertence a H. Eu tentei um pouco achar um exemplo > natural com G={bijecoes de N}, mas so' consegui versoes artificiais de > exemplos anteriores... Esse eh bem legal! []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================