On Tue, May 10, 2005 at 02:11:08AM -0300, Paulo Cesar wrote: > Eis uma questão que já me deu alguma dor de cabeça: > > Seja ABC um triângulo isósceles com AB=AC e ângulo BAC valendo 12º. > Traça-se de B a bissetriz BD, D em AC, e traça-se de C a ceviana CE, E > em AB, de modo que o ângulo ECB seja 30º. Determine o ângulo BDE.
É possível dar uma solução puramente geométrica (só com geometria da 8a série) para este problema, mas é bastante difícil. A solução abaixo não é minha, é transcrita de "Last words on adventitious angles", Mathematical Gazette, 62, pp 174-183, 1978 e é devida a Mr C. F. Parry de Burghfield Common, Berkshire. O artigo deve ser lido junto com "Adventitious angles", Colin Tripp, Mathematical Gazette, 59, pp 98-106, 1975 e "The adventitious angles problem: a progress report", Mathematical Gazette, 61, pp 55-58, 1977. Todos eles tratam de variaçoes deste problema mudando apenas os valores dos ângulos (aqui 12, 42 e 30). Seja X o ponto de interseção de BD e CE. Temos XCD = XDC = 54 graus, assim XC = XD. Trace perpendiculares XY e XZ a BC e BE, resp. Sejam P e Q os pontos médios de XC e XD, resp. Seja R a interseção de XE e QZ. O círculo XYC tem centro P donde XQ = XP = XY = XZ e portanto XQZ é isósceles. Como BXZ = 48 temos XQZ = XZQ = 24. Mas EXZ = 24, donde RXZ é isósceles e, como EZX é reto, R é o centro do círculo EXZ. Assim R é o ponto médio de EX e portanto DE é paralela a QZ e BDE = XQZ = 24. []s, N.
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