OI, Demetrio: Segue abaixo uma solucao detalhada para o problema de se determinar os valores de x tais que a sequencia (a(n)) dada por a(1) = x e a(n+1) = x^a(n) converge. O caso 0 < x < 1 foi feito pelo Marcio Cohen.
Repare que o meu enunciado na minha mensagem anterior estava errado: de fato, a sequencia converge apenas com x em [e^(-e),e^(1/e)]. Talvez seja interessante ver o que acontece quando 0 < x < e^(-e). Nesse caso, a sequencia eh limitada (0 < a_n < 1, para todo n) e, portanto, possui alguma subsequencia convergente. Assim, dado x, quais os valores de aderencia de a_n? []s, Claudio. *** Se x = 1 entao a_n eh obviamente constante e igual a 1. Assim, suponhamos que x > 1: 1) (a_n) é crescente. Dem: a_1 = x > 1 a_2 = x^x > x^1 = x = a_1 Suponhamos que a_n = x^a_(n-1) > a_(n-1). Teremos, então que a_(n+1) = x^a_n = x^(x^a_(n-1)) > x^a_(n-1) = a_n. Logo, por indução, o resultado está provado. 2) Se 1 < x <= e^(1/e), então, para todo n, a_n <= e. Dem: a_1 = x <= e^(1/e) < e a_2 = x^x <= (e^(1/e))^e = e^(e/e) = e^1 = e Suponhamos que a_n <= e. Então, a_(n+1) = x^a_n <= (e^(1/e))^a_n <= e^(e/e) = e^1 = e. Logo, por indução, o resultado está provado. Assim, se 1 < x <= e^(1/e), então a_n é crescente e limitada. Logo, converge. Em particular, se x = e^(1/e), teremos que lim a_n = e. 3) Se x > e^(1/e), então (a_n) é crescente e ilimitada. Dem: Já provamos acima que (a_n) é crescente. Suponhamos que exista K > 0 tal que, para todo n, a_n < K. Nesse caso, deverá existir L = lim a_n. Assim, L = x^L > (e^(1/e))^L = e^(L/e) ==> ln(L) > L/e ==> contradição, pois para todo x > 0, ln(x) <= x/e ==> não existe lim a_n ==> como (a_n) é crescente, não pode ser limitada. *** Considere o caso 0<x<1. Entao, x^x < x (pois a funcao h(y)=a^y eh decrescente para a em (0,1)), i.e a2 < a1. Do mesmo modo, x^(x^x) > x^x, i.e, a_3 > a_2 (agora usando a = x^x). Com a = x^(x^x), vc conclui que a_4 < a_3. Sendo composta de duas funcoes decrescentes, a funcao h(y) = x^(x^y) eh crescente, e portanto a_1 < a_3 (y=x e y=0) e em geral: a_1 < a_3 < a_5 < ..... < a_6 < a_4 < a_2 A sequencia (a_n) tem portanto dois valores de aderencia, que vamos chamar de A1 e A2. Ela converge sse esses valores forem iguais. Observe q a subsequencia impar e par que satisfazem: a_n+2 = x^(x^a_n). Os valores de aderencia satisfazem portanto Ai = x^(x^Ai), A1 = x^(A2) e A2 = x^(A1). Considere entao a funcao h(y) = x^(x^y) - y. Essa equacao sempre tem ao menos uma raiz (que vou chamar de L'), que eh a raiz de g(y)=x^y-y (fazendo o grafico, como x < 1, x^y eh decrescente e y eh crescente, logo ha no maximo uma raiz. Analisando os valores em y=0 e y=1 garantimos que essa raiz de fato existe). Note que a_n, caso seja convergente, vai para L'. h'(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^2 - 1 h''(y) = x^(x^y) * (x^y) * (lnx)^3 * ( 1 + (x^y)*lnx ) Como h'' tem no maximo uma raiz em (0,1) (soh o ultimo parentesis acima pode se anular), vemos que h tem no maximo 3 raizes em (0,1) (pelo tvi, 4 raizes de h implicam ao menos 3 de h', ..) 1o caso: h'(L') > 0. Desenhando o grafico, vc ve que h tem tres raizes L1<L'<L2 nesse caso (mais formalmente, h(0)=x > 0, h(L'-eps)<0, h(L'+eps)>0 e h(1)=x^(x) - x < 0). Alem disso, nesse caso a seq. diverge, pois ou ela comeca de a_1 = x <= L1 e nesse caso a subsequencia impar fica limitada por L1 (inducao) nao podendo nunca chegar em L', ou entao, se L1 < x, como h(0)>0 e h(x)=x^(x^x)-x > 0, temos ao menos duas raizes em (0,x), e portanto L'< x, de modo que (a_n) nao pode convergir para L' (pois a subseq. impar eh crescente). 2o caso: h'(L') <= 0. Nesse caso, é impossível haver 3 raízes L1 < L' < L2 (pois isso traria ao menos 2 raízes em (0,L') (ja que h(0)*h(L'- eps)>0) e mais duas em (L', 1), totalizando mais de 3 raizes. Portanto, nesse caso a serie converge (pois se ela divergisse, a equacao teria como solucao pelo menos os dois valores de aderencia distintos A1 < A2, alem do ponto fixo L', sendo que L' != A1,A2 (se L'=A1, entao A2 = x^(A1)=x^(L')=L'=A1). Logo, a_n converge sse h'(L') <= 0 sse (L')^2 * (lnx)^2 <= 1 sse (ln L')^2 <= 1 sse e^-1 <= L' <= e sse L' >= e^-1 (pois claramente L'<1<e). Agora, x = L' ^(1/L'), e a funcao f(y) = y^(1/y) eh crescente para y<e (f'(y) = f(y)*(1-lny)/y^2), logo L'>= 1/e sse x >= (1/e)^e = e^(-e). ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================