Eu sei. Acabei de mandar uma msg com o enunciado correto e a solucao. []s, Claudio.
on 19.05.05 20:01, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Oi Cl?udio, > Isso n?o ? exatamente verdade n?o. A seq??ncia a(n) converge se e somente > se e^(-e) <= x <= e^(1/e). Se 0<x<e^(-e), a seq??ncia a(n) tem dois valores > de ader?ncia em (0,1). O caso 0<x<1 da' um pouco mais de trabalho que o aso > x >= 1, mas tamb?m ? legal. > Abra?os, > Gugu > >> >> Esse tamb=E9m =E9 um belo problema: >> >> Prove que se a(1) =3D x > 0 e a(n+1) =3D x^a(n), para n >=3D 1, ent=E3o a= >> sequ=EAncia ((a(n)) converge se e somente se x <=3D e^(1/e). >> >> []s, >> Claudio. >> >> De:[EMAIL PROTECTED] >> >> Para:obm-l@mat.puc-rio.br >> >> C=F3pia: >> >> Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000 >> >> Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva. >> >>> Oi Claudio e demais colegas >>> desta lista ... OBM-L, >>> >>> Resposta correta. >>> >>> Em linhas gerais, a historia do problema e a seguinte : alguem resolveu= >> um >>> problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das quais >>> deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo saber a opcao corret= >> a. Eu >>> invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta : >>> >>> Gelfond =3D> raiz(2)^raiz(2) e transcendente =3D> e irracional >>> >>> E entao resolvi construir explicitamente uma sequencia de numeros >>> transcendentes que tinha como limite um numero natural. Aqui entrou o G= >> UGU, >>> reclamando que mesmo nao sabendo provar a transcendencia, nao haviam >>> hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A reclamacao de= >> le, >>> correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um problema = >> : >>> este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ... >>> >>> Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", o restan= >> te ( >>> o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, r=3Dt^r.= >> Daqui >>> sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem perante al= >> gumas >>> assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera linchado = >> e >>> execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pessoas de = >> >>> essencializar >>> o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao muitas ! >>> >>> Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o "e" as = >> >>> demais hipoteses. >>> >>> Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado esquerdo= >> do >>> cerebro o numero e=3D2,71... Com o lado direito estude as sequencias da= >> forma >>> X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo equivalente a um "raio = >> de >>> convergencia". >>> >>> E com os melhores votos >>> de paz profunda, sou >>> >>> Paulo Santa Rita >>> 3,2154,170505 >>> >>>> From: "claudio.buffara" >>>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>>> To: "obm-l" >>>> Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva. >>>> Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300 >>>> >>>>> Ola Pessoal desta >>>>> lista ... OBM-L, >>>>> >>>>> Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui nesta lista - se= >> nao >>>> me >>>>> falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em uma forma men= >> os >>>> geral. >>>>> Peco desculpas a todos por tantas correcoes. >>>>> >>>>> Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irracional algebr= >> ico. >>>>> Definimos a sequencia : >>>>> >>>>> A(1) =3D T >>>>> A(N+1) =3D T^A(N) >>>>> >>>>> Se LIM A(N)=3Dr, r racional, Considere a afirmacao : "Existe N, N >>>>> suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Voce consegue pr= >> ovar >>>> ou >>>>> refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel aplicar, DIRETAMEN= >> TE, o >>>>> teorema de Gelfond. >>>>> >>>>> Um Abraco a Todos >>>>> Paulo Santa Rita >>>>> 3,1242,170505 >>>>> >>>>> >>>> Oi, Paulo: >>>> >>>> Se lim A(n) existe e =E9 igual ao racional r, ent=E3o lim A(n+1) =3D r= >> . >>>> Portanto, teremos: r =3D t^r =3D=3D> >>>> t =3D r^(1/r) =3D alg=E9brico =3D=3D> >>>> contradi=E7=E3o, pois estamos supondo que t =E9 transcendente. >>>> >>>> Logo, ou lim A(n) n=E3o existe ou existe mas =E9 irracional. >>>> >>>> Assim, a senten=E7a: >>>> lim A(n) =E9 racional =3D=3D> A(N) =E9 alg=E9brico para algum N sufici= >> entemente >>>> grande >>>> =E9 verdadeira, j=E1 que a sua premissa =E9 falsa. >>>> >>>> Era isso o que voc=EA tinha em mente? >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>> >> >> --_=__=_XaM3_.1116385718.2A.615916.42.31897.52.42.007.1250663696 >> Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 >> Content-Transfer-Encoding: quoted-printable >> >> <DIV>Esse tamb=E9m =E9 um belo problema:</DIV> >> <DIV> </DIV> >> <DIV>Prove que se a(1) =3D x > 0 e a(n+1) =3D x^a(n), para n >=3D 1= >> , ent=E3o a sequ=EAncia ((a(n)) converge se e somente se x <=3D e^(1/e= >> ).</DIV> >> <DIV> </DIV> >> <DIV>[]s,</DIV> >> <DIV>Claudio.</DIV> >> <DIV> </DIV> >> <DIV> >> <TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b= >> order=3D0> >> <TBODY> >> <TR> >> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M= >> S'" size=3D2><B>De:</B></FONT></TD> >> <TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>[EMAIL PROTECTED] >> puc-rio.br</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV> >> <DIV> >> <TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b= >> order=3D0> >> <TBODY> >> <TR> >> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M= >> S'" size=3D2><B>Para:</B></FONT></TD> >> <TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>[EMAIL PROTECTED] >> o.br</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV> >> <DIV> >> <TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b= >> order=3D0> >> <TBODY> >> <TR> >> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M= >> S'" size=3D2><B>C=F3pia:</B></FONT></TD> >> <TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2></FONT></TD></TR= >>> </TBODY></TABLE></DIV> >> <DIV> >> <TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b= >> order=3D0> >> <TBODY> >> <TR> >> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M= >> S'" size=3D2><B>Data:</B></FONT></TD> >> <TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>Wed, 18 May 2005= >> 00:53:25 +0000</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV> >> <DIV> >> <TABLE cellSpacing=3D0 cellPadding=3D4 width=3D"100%" bgColor=3D#f0f0f0 b= >> order=3D0> >> <TBODY> >> <TR> >> <TD width=3D70 bgColor=3D#bde9fd><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet M= >> S'" size=3D2><B>Assunto:</B></FONT></TD> >> <TD><FONT face=3D"Verdana,Arial,'Trebuchet MS'" size=3D2>Re:[obm-l] Trans= >> cendentes - forma definitiva.</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV> >> <DIV>> Oi Claudio e demais colegas</DIV> >> <DIV>> desta lista ... OBM-L,</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> Resposta correta.</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> Em linhas gerais, a historia do problema e a seguinte : alguem = >> resolveu um </DIV> >> <DIV>> problema mostrando que haviam duas respostas possiveis, uma das= >> quais </DIV> >> <DIV>> deveria ser falsa. Uma estudante reclamou querendo saber a opca= >> o correta. Eu </DIV> >> <DIV>> invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a resposta correta= >> :</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> Gelfond =3D> raiz(2)^raiz(2) e transcendente =3D> e irrac= >> ional</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> E entao resolvi construir explicitamente uma sequencia de numer= >> os </DIV> >> <DIV>> transcendentes que tinha como limite um numero natural. Aqui en= >> trou o GUGU, </DIV> >> <DIV>> reclamando que mesmo nao sabendo provar a transcendencia, nao h= >> aviam </DIV> >> <DIV>> hipoteses suficientes para postular tal transcendencia. A recla= >> macao dele, </DIV> >> <DIV>> correta e justificavel, era implicitamente a proposicao de um p= >> roblema : </DIV> >> <DIV>> este problema abaixo, onde voce ensaia uma solucao ...</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> Voce faz a observacao basica e fundamental : fixando a "base", = >> o restante ( </DIV> >> <DIV>> o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na sua linguagem, = >> r=3Dt^r. Daqui </DIV> >> <DIV>> sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma tal passagem pe= >> rante algumas </DIV> >> <DIV>> assembleias que amam o detalhe, muito provavelmente voce sera l= >> inchado e </DIV> >> <DIV>> execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade de algumas pes= >> soas de </DIV> >> <DIV>> essencializar</DIV> >> <DIV>> o trivial e trivializar o essencial. Mas elas existem. E sao mu= >> itas !</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> Note tambem que o pulo logico final precisa ser conectado com o= >> "e" as </DIV> >> <DIV>> demais hipoteses.</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? Mantenha do lado = >> esquerdo do </DIV> >> <DIV>> cerebro o numero e=3D2,71... Com o lado direito estude as seque= >> ncias da forma </DIV> >> <DIV>> X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo equivalente a u= >> m "raio de </DIV> >> <DIV>> convergencia".</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> E com os melhores votos</DIV> >> <DIV>> de paz profunda, sou</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> Paulo Santa Rita</DIV> >> <DIV>> 3,2154,170505</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> <DIV>> >From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]></DIV= >>> >> <DIV>> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br</DIV> >> <DIV>> >To: "obm-l" <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR></DIV> >> <DIV>> >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma definitiva.</DIV= >>> >> <DIV>> >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300</DIV> >> <DIV>> ></DIV> >> <DIV>> > > Ola Pessoal desta</DIV> >> <DIV>> > > lista ... OBM-L,</DIV> >> <DIV>> > ></DIV> >> <DIV>> > > Esse problema e antigo, bonito e foi proposto aqui ne= >> sta lista - se nao </DIV> >> <DIV>> >me</DIV> >> <DIV>> > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo (GUGU), em= >> uma forma menos </DIV> >> <DIV>> >geral.</DIV> >> <DIV>> > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes.</DIV> >> <DIV>> > ></DIV> >> <DIV>> > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i e um irr= >> acional algebrico.</DIV> >> <DIV>> > > Definimos a sequencia :</DIV> >> <DIV>> > ></DIV> >> <DIV>> > > A(1) =3D T</DIV> >> <DIV>> > > A(N+1) =3D T^A(N)</DIV> >> <DIV>> > ></DIV> >> <DIV>> > > Se LIM A(N)=3Dr, r racional, Considere a afirmacao : = >> "Existe N, N</DIV> >> <DIV>> > > suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico". Vo= >> ce consegue provar </DIV> >> <DIV>> >ou</DIV> >> <DIV>> > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel apli= >> car, DIRETAMENTE, o</DIV> >> <DIV>> > > teorema de Gelfond.</DIV> >> <DIV>> > ></DIV> >> <DIV>> > > Um Abraco a Todos</DIV> >> <DIV>> > > Paulo Santa Rita</DIV> >> <DIV>> > > 3,1242,170505</DIV> >> <DIV>> > ></DIV> >> <DIV>> > ></DIV> >> <DIV>> >Oi, Paulo:</DIV> >> <DIV>> ></DIV> >> <DIV>> >Se lim A(n) existe e =E9 igual ao racional r, ent=E3o lim A= >> (n+1) =3D r.</DIV> >> <DIV>> >Portanto, teremos: r =3D t^r =3D=3D></DIV> >> <DIV>> >t =3D r^(1/r) =3D alg=E9brico =3D=3D></DIV> >> <DIV>> >contradi=E7=E3o, pois estamos supondo que t =E9 transcenden= >> te.</DIV> >> <DIV>> ></DIV> >> <DIV>> >Logo, ou lim A(n) n=E3o existe ou existe mas =E9 irracional= >> .</DIV> >> <DIV>> ></DIV> >> <DIV>> >Assim, a senten=E7a:</DIV> >> <DIV>> >lim A(n) =E9 racional =3D=3D> A(N) =E9 alg=E9brico para = >> algum N suficientemente </DIV> >> <DIV>> >grande</DIV> >> <DIV>> >=E9 verdadeira, j=E1 que a sua premissa =E9 falsa.</DIV> >> <DIV>> ></DIV> >> <DIV>> >Era isso o que voc=EA tinha em mente?</DIV> >> <DIV>> ></DIV> >> <DIV>> >[]s,</DIV> >> <DIV>> >Claudio.</DIV> >> <DIV>> </DIV> >> >> --_=__=_XaM3_.1116385718.2A.615916.42.31897.52.42.007.1250663696-- >> >> ========================================================================= >> Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > ========================================================================= > Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================