Ok Meu caro Ronaldo: Problema: Mostre que um A-módulo P é projetivo se, e só se existe uma família {x_j} de elementos em P e homomorfismos {f_j : P --> A} tais que para todo x em P tem-se: x = soma[f_j(x).x_j] , onde a sequencia {f_j(x)} é quase nula.
Obs.: 1) j estah em conjunto de índices J qualquer! 2) f_j(x) quer dizer o homo. f_j aplicado em x. Solução: |==>| Seja P um sonando direto de A-mód. livre L com base {e_i}. Tomemos f:P --> L e g:L --> P como sendo a inclusão de P em L e a projeção de L sobre P, respectivamente. Se x estah em P, então f(x) pode ser expresso como uma soma finita sum{t_i*e_i} (onde os t_i pertencentes a A são unicamente determinados para cada x!!!). Daí definimos f_i(x) = t_i e x_i = g(e_i) (observe que os f_i são homomorfismos de P em A e que os f_i(x) formam uma seq. quase nula!!!). Então: x = g(f(x)) = g(sum{t_i*e_i}) = sun{[t_i]*g(e_i)} = sum{f_i(x)*x_i}. Isto prova a ida do nosso problema. |<==| Agora seja L um módulo livre com base {e_i} e definamos g:L --> P por g(e_i) = x_i. Defina também f:P --> L por f(x) = sum{f_i(x)*e_i}. Daí temos que: g(f(x)) = g(sum{f_i(x)*e_i}) = sum{f_i(x)*g(e_i)} = sum{f_i(x)*x_i} = x, ou seja, gof(x) = x, para todo x em P. Donde temos que a sequência exata 0 --> Nuc(g) --> L ---> P --> 0 cinde e, portanto P é um somando direto um módulo livre, o que nos garante que ele é projetivo. E isso conclui a solução do nosso problema. Meu caro Ronaldo, como vc deve ter observado, tem alguns detalhes aí que valem a pena ser verificados. Sem mais, éder. --- Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > >Consegui resolver!!! > > Oi Éder. > Gostaria de ver sua solução. > > []s Ronaldo L. Alonso > > >obrigado àqueles que tentaram. Caso alguém queira a > >solução, é soh avisar que posso colocar aqui > depois. > >gratoi, éder. > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ____________________________________________________Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================