on 22.05.05 15:20, Chicao Valadares at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Minha ferrugem em relaçao ao assunto nao esta deixando > fazer esse aqui: como provo se no grupo temos (xy)^3 = > x^3y^3, tal grupo é abeliano?? > > Acho que isso soh eh verdade em geral se a ordem de G nao for um multiplo de 3.
Nesse caso, teremos: (xy)^3 = x^3y^3 e (yx)^2 = x^2y^2 ==> (xy)^2 = y^2x^2. Assim: xy = (xy)^3*(xy)^(-2) = x^3y^3x^(-2)y^(-2) ==> e = x^2y^3x^(-2)y^(-3) ==> y^3x^2 = x^2y^3 Se |G| = 3m+1, entao x^(3m) = x^(-1) para todo x em G. Logo: y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==> y^(-1)x^2 = x^2y^(-1) ==> yx^2 = y^2x^2y^(-1) ==> yx^2 = (xy)^2y^(-1) ==> yx^2 = xyxyy^(-1) ==> yx^2 = xyx ==> yx = xy. Se |G| = 3m+2, entao x^(3m) = x^(-2) para todo x em G. Logo: y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) ==> y^(-2)x^2 = x^2y^(-2) ==> x^2 = y^2x^2y^(-2) ==> x^2 = (xy)^2y^(-2) ==> x^2 = xyxyy^(-2) ==> x = yxy^(-1) ==> xy = yx. *** Infelizmente, vou ficar devendo o exemplo de um grupo nao abeliano cuja ordem eh divisivel por 3. Mas com certeza o Nicolau ou o Gugu vao arranjar algum. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
