Ola Pessoal,
Na mensagem abaixo leiam : "valores reais positivos de k"
um Abraco
Paulo Santa Rita
2,1103,300505
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Subject: [obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
Date: Mon, 30 May 2005 13:46:16 +0000
Ola Carissimo Prof Nicolau e
demais colegas desta lista ... OBM-L,
A resposta abaixo do nosso estimado moderador chega coincidentemente quando
um estudante de Matematica da USP me propos o seguinte problema :
"Para quais valores de K a equacao sen(X) - KX = 0 tem exatamente tres
solucoes ? "
Estes problemas estao de alguma forma relacionados e nao sem ingentes
esforcos que consigo me arrancar do desprazer de nao ter conseguido
rapidamente encontrar uma solucao "fechadinha". OLHANDO RAPIDA,MENTE, eu
encontrei :
sen(Z1)/Z1 < K < 1 onde Z1 e a solucao positiva de Z*cos(Z) - sen(Z) = 0
que reside no intervalo aberto (2*pi , 3*pi). E foi esta a resposta que dei
para o colega da USP. Alguem consegue melhorar este resultado ?
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
2,1044,300505
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
Date: Mon, 30 May 2005 10:06:12 -0300
On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vinícius Meireles Aleixo wrote:
> Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na
lista....
> Qual é a raiz negativa da equação:
>
> 2^x - x^2=0
Isto já foi discutido na lista várias vezes sim, mas não achei referência.
A raiz é aproximadamente x = -0.7666646959621230931112044225103148480067.
Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, é claro que existe pelo menos
uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 é fácil ver que
f'(x) > 0 para todo x neste intervalo donde a raiz é única.
O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo
método de Newton, ou, de forma mais prática, usando maple ou outro
software
similar (como eu fiz). Este número claramente não é inteiro. Também não
pode ser racional pois se x é racional não inteiro então 2^x não é
racional,
como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da
aritmética.
Este número também não pode ser algébrico irracional pois sabemos pelo
teorema de Gelfond-Schneider que se x é algébrico irracional então 2^x
não é algébrico.
Resumindo, a equação tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz é um
número
transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este
número
pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais
conhecidos (como pi): a resposta é quase certamente não, mas demonstrar
que
a resposta é não deve ser difícil.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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