Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
Ok. Obrigado. Imagino que tais identidades são estabelecidas
dentro de um contexto, como sua solução sugere. Mas e se
quisermos agora provar tais identidades fora de um contexto?
Sejam A_n = \sum_{k=0}^n 3k \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k}
e
B_n = \sum_{k=0}^n 2n \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k} .
Dá pra mostrar que A_n e B_n satisfazem a mesma recorrência e têm
os 10 (digamos) primeiros termos iguais? Ou que A_n=B_n por
indução? Ou usando as técnicas dos livros A=B ou Mat. Concreta?
[]'s
Luís
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: Re:[obm-l] soma binomial
Date: Wed, 15 Jun 2005 00:43:35 -0300
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 13 Jun 2005 20:46:59 +0000
Assunto:[obm-l] soma binomial
> Sauda,c~oes,
>
> Alguém saberia provar que
>
> \sum_{k=0}^n (3k-2n) \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k} = 0 ?
>
> []'s
> Luís
>
Oi, Luís:
Aqui vai minha tentativa:
Temos:
n bolas brancas, numeradas de 1 a n;
n bolas pretas, numeradas de 1 a n;
2 urnas: A e B.
Escolhemos uma das bolas para ser a "bola especial" e colocamos esta bola
na urna A.
Formamos também um conjunto de bolas não-especiais com o mesmo número de
bolas brancas e bolas pretas. Metade das bolas desse conjunto são colocadas
na urna B.
De quantas maneiras distintas podemos preencher as urnas A e B?
Método 1:
Escolha da bola especial para ser colocada na urna A:
2n
Para cada k (0 <= k <= n-1):
Escolha de k bolas não especiais com a mesma cor da bola especial:
Binom(n-1,k)
Escolha de k bolas não especiais com cor distinta da cor da bola especial:
Binom(n,k)
Escolha de metade das bolas não especiais que vão para a urna B:
Binom(2k,k)
Total =
SOMA(0<=k<=n-1) 2n*Binom(n-1,k)*Binom(n,k)*Binom(2k,k) =
SOMA(0<=k<=n-1) 2*(n - k)*Binom(n,k)*Binom(n,k)*Binom(2k,k) =
SOMA(0<=k<=n) (2n - 2k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)
***
Método 2:
Para cada k (0 <= k <= n):
Escolha de k bolas brancas:
Binom(n,k)
Escolha de k bolas pretas:
Binom(n,k)
Escolha da bola especial, dentre as 2k bolas escolhidas:
2k
Escolha das k bolas que vão para a urna B, dentre as 2k-1 bolas não
especiais escolhidas:
Binom(2k-1,k)
Total =
SOMA(0<=k<=n) Binom(n,k)*Binom(n,k)*2k*Binom(2k-1,k) =
SOMA(0<=k<=n) k*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)
Logo, temos a identidade:
SOMA(0<=k<=n) (2n - 2k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k) =
SOMA(0<=k<=n) k*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)
De onde vem:
SOMA(0<=k<=n) (2n - 3k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k) = 0
[]s,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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