Interessante! Dei uma olhada no livro que estou estudando e ele menciona essa fórmula, inclusive para mostrar que p!/(p-k)! é divisivel por k!, sem usar indução. Entretanto, esse exercício está proposto dois capítulos antes, em um capítulo sobre coisas elementares a respeito de congruência (a=b(mod c) etc.). A propósito, o livro que estou lendo é do José Plínio de Oliveira Santos, publicado pelo Impa. Vocês tem recomendações de outros livros interessantes para aprender teoria dos números?
Abraços, Maurício > Um jeito mais fácil é usar a velha e, espero, > conhecida fórmula para o expoente de p em n!, igual > a [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + .... > > O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k) (1 <= k > <= p^m - 1) é: > [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] + > [p^m/p^m] = > p^(m-1) + p^(m-2) + ... + p + 1. > > O expoente de p no denominador de Binom(p^m,k) é a > soma de: > [k/p] + [k/p^2] + [k/p^3] + .... > e > [(p^m-k)/p] + [(p^m-k)/p^2] + [(p^m-k)/p^3] + ... > > Mas: > [k/p^j] + [(p^m - k)/p^j] <= [(k + (p^m-k))/p^j] = > [p^m/p^j] = p^(m-j). > > Além disso, para k = 1, teremos: > [1/p^j] + [(p^m - 1)/p^j] = p^(m-j) - 1 < p^(m-j) = > [p^m/p^j] > > A partir dessas duas desigualdades é fácil concluir > que o expoente de p no numerador é estritamente > maior do que o expoente de p no denominador, de modo > que p divide Binom(p^m,k). > > []s, > Claudio. > > > > Oi, Maurício, > > é possível resolver essa como aplicação imediata > do teorema de lucas, que > > é o seguinte: > > > > Se m = a_k*p^k + a_(k-1)*p^(k-1) + ... + a_1*p + > a_0 e n = b_k*p^k + ... > > + b_0 (representação na base p), denotando B(m,n) > a combinação de m elementos > > tomados n a n, vale > > > > B(m,n) == B(a_0,b_0)*B(a_1,b_1)*...*B(a_k,b_k)(mod > p), > > > > onde B(x,y) = 0 se y > x. > > > > Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais > elementar deste fato... > > > > []s, > > Daniel > > > > '>' Oi, pessoal, > > '>' > > '>' Estou em cima desse exercício de teoria dos > números > > '>'faz tempo e não cheguei a nada, alguém tem > alguma > > '>'dica? > > '>' > > '>' Mostrar que o número de combinações de p^a (p > > '>'elevado a a) elementos tomados k a k é > divisivel por > > '>'p, supondo p^a>k (acho que também é necessário > que > > '>'a>1). Formulei isso assim: > > '>' > > '>' p^a!/(k!(p^a-k)!) = 0 (mod p) > > '>' > > '>' > > '>' Abraços, > > '>' Maurício > > '>' > > '>' > > '>' ____________________________________________________ Yahoo! Sports Rekindle the Rivalries. Sign up for Fantasy Football http://football.fantasysports.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================