Sugestão: Considere a integral do campo de vetores F: R^2 - {0} -> R^2 dado por ( -y/(x^2+y^2) , x/(x^2+y^2) ) sobre o caminho g: [0,2pi] -> R^2 dado por g(t) = (acos(t),bsen(t))
Como g é de classe C^infinito, a integral será igual a:
Integral(0...2pi) <F(g(t)),g'(t)>dt, onde < , > é o produto interno usual.
Fazendo z = x + iy, expressando dz/z em função de x e y e olhando pra parte imaginária desta diferencial, você vai ver que o campo F não foi tirado da cartola. No mais, você está certo em afirmar que Integral(C) dz/z = i*2pi, onde C é qualquer curva fechada contendo a origem em seu interior.
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | obm-l@mat.puc-rio.br |
| Cópia: |
| Data: | Thu, 23 Jun 2005 15:20:46 -0300 (ART) |
| Assunto: | Re: [obm-l] integrais - funcoes analiticas |
>
> Prezado Fábio
>
> Acredito que z = a.cost + i.b.sent ???...
>
> Parece, então, tratar-se de uma aplicação do Teorema
> de Green (já que pede para calcular a integral de
> linha de duas formas).
>
> []s
>
> Wilner
>
> --- Fabio Niski <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:
>
> > Olá gente!
> > Topei com este problema
> > "Sejam a,b pert R, a > 0, b > 0 e consideremos a
> > elipse
> > g : t pert [0,2pi] -> acost + isent pert C. Calcular
> > de duas formas
> > diferentes a integral Int_linha[sobre g]dz/z e
> > deduzir que
> > Int[0, 2pi] (dt/(acost)^2 + (bsent)^2) = 2pi/ab"
> >
> > obs: Int_linha é integral de linha se nao ficou
> > claro.
> >
> > Bom, fique claro que no curso nao vimos
> > singularidades, series de
> > Laurent e residuos. Se a unica maneira de resolver
> > este problema for
> > lançando mao destas ferramentes por favor alguem me
> > avise.
> >
> > Eu começei assim:
> > Considere: g[b] a circunferencia de centro na origem
> > e raio b orientada
> > no sentido antihorario, V o complementar de uma
> > disco fechado centrado
> > na origem com raio estritamente menor que b e a
> > funcao f, dada por f(z)
> > = 1/z.
> > Temos evidentemente que V é aberto e f é holomorfa
> > em V.
> > Como g e g[b] são V-homologicas vale o teorema de
> > Cauchy
> > e portanto
> > Int_linha[sobre g]dz/z = Int_linha[sobre g[b]dz/z
> > =
> > Int[0,2pi]((b*i*e^it)/b*e^it))dt
> > = 2pi*i
> > Bom, nem sei se esta resultado esta correto, mas
> > apartir dai eu nao
> > tenho nenhuma ideia para continuar. Agradeco
> > qualquer ajuda/sugestao.
> > Obrigado
> >
> > Niski
> >
> >
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> > usar a lista em
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