Na realidade, esta demonstracao poderia ser um pouquinho mais simples do que a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de paralelepipedos abertos e limitados para conjuntos genericos limitados, poderiamos ter invocado diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes de apresentar a prova, uma observacao de um fato sutil que me passou desapercebido. O enunciado deveria dizer que B eh um conjunto qualquer MENSURAVEL de R^n, pois nem todo subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de Lebesgue). No caso, B teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel, gerada pelos conjuntos abertos de R^n
A prova poderia ser assim: Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um paralelepipedo limitado e aberto de R^n de hipervolume V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para todo eps>0 podemos cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um com hipervolume V_k, tal que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A X P por paralelepipedos abertos de R^(m+n). O hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V = V * Soma(k>=1)V_k < V * eps/V = eps. Como eps eh arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em R^(m+n). O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma colecao enumeravel (nao precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos abertos de hipervolume 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel (nao necessariamente disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e cada Q_k eh um paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao anterior nos mostra que cada A X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a sigma-sub-aditividade da medida, concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo esta conclusao para o caso B = R^n, segue-se que vale automaticamente para qualquer subconjunto MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X R^n e subconjuntos mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos. A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade segundo a qual se {A_n} eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos mensuraveis e A eh a uniao desta colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n), entendendo-se esta desigualdade no sistema dos reais expandidos. Se a colecao for disjunta 2 a 2, ocorre igualdade. Artur --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi para todos! > Alguem pode me ajudar neste? > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm um > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula. > > Grato, > Tertuliano > > __________________________________________________ > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! > Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================