É realmente complicado calcular essa derivada.. Uma possível solução para
esse problema é simplesmente tirar o mmc.. Aqui está:
Vc quer provar que
sym_sum (a^(x+2) + 1) / (a^x bc + 1) >= 6
E as passagens abaixo são equivalentes:
sym_sum (a^(x+2) + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) >= 6(a^x bc + 1)(b^x ac +
1)(c^x ab + 1)
sym_sum (a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) + 2 * a^(x+3) b^x c + a^(x+2) + b^(x+1)
c^(x+1) a^2 + 2*a^x bc + 1 )
>= sym_sum ( a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2) + 3*a^(x+1) b^(x+1)c^2 + 3*a^x
bc + 1)
Agora, pela desigualdade de muirhead (bunching), voce sabe que:
sym_sum [a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) - a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2)] >= 0
sym_sum [2 * a^(x+3) b^x c - 2*a^(x+1) b^(x+1)c^2] >=0
sym_sum [b^(x+1) c^(x+1) a^2 - a^(x+1) b^(x+1)c^2] = 0
sym_sum [a^(x+2) - a^x bc ] >= 0
Somando tudo voce conclui a desigualdade pedida.
Abraços,
Marcio
----- Original Message -----
From: "Marcos Martinelli" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, July 10, 2005 4:22 PM
Subject: [obm-l] Uma desigualdade legal!
Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai:
Dados a,b,c,x reais positivos provar que:
[a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]>=3.
Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a
seguinte função
f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda
derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu
problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva
para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente
mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe,
até uma outra solução pro problema. Obrigado!
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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