Estava desenvolvendo vários exercícios de P.A./P.G. e encontrei esse
exercício. Até consegui resolver, embora o resultado nunca batesse com uma
das alternativas. Por favor tente ai e vejam se tem algo errado com a
questão. Aqui vai ela:
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(PUC/CAMP) Uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica
(P.G.), cujos termos são inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma
razão. Se o quinto termo da P.A. é 11 e a diferença entre o segundo termo da
P.G. e o segundo termo da P.A. é 1, então o quinto termo da P.G. é:
a) 243
b) 162
c) 95
d) 48
e) 32
A RESPOSTA CERTA DE ACORDO COM O GABARITO É "D".
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Minha resolução (se possível cheque e veja se encontra algum erro, pois ja o
fiz várias vezes e não encontrei nenhum). Aqui vai:
* Considerando a razão q (igual nas duas);
PA(x, x+q, x+2q, x+3q, 11)
PG(x, x.q, x.q², x.q³, x.q³.q)
* Temos que o quinto termo da P.A. é igual a 11, logo:
11 = x + 4q =>
4q = 11 - x =>
q = (11 - x)/4
* Se q = (11 - x)/4 e x.q - (x+q) = 1, vem:
x.q - (x + q) = 1
x[(11-x)/4] - [x + (11 - x)/4] = 1
(11x - x² - 4x + 11 - x)/4 = 1
11x - x² - 4x + 11 - x = 4
-x² + 6x + 7 = 0
x² - 6x - 7 = 0
*Logo: x' = -1 (Não convém)
x" = 7
* Com posse de x, aplicamos o termo geral na P.A.:
11 = 7 + 4q
4q = 4
q = 1
* Como q = 1, descobrimos agora o quinto termo da P.G.:
a5 = 7.q³.q¹
a5 = 7
A resposta no caso seria "7" e não "48", sendo que "7" nem ao menos se
encontra no gabarito. Por favor, se possível me ajudem.
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