Uma matriz é dita nilpotente se existe n natural tal que A^n=0. Certo? Não me lembro muito bem dessa definição. Mas admita que isto seja o correto. Seja então n* o menor natural tal que A^n*=0. Observe o seguinte produto matricial: (-1)*[I+A+A^2+A^3+...+A^(n*-1)]*(A-I)=I-A^n*. Ora, por hipótese A^n*=0 e temos então que A-I é invertível e sua inversa é (-1)*[I+A+A^2+A^3+...+A^(n*-1)].
Creio que este resultado possa ser estendido usando autovalores. Em que condições teríamos o seguinte lim A^n=0? Uma matriz sempre comuta com sua inversa. Seja axb a dimensão de A e cxd a dimensão de A^-1. Da definição de multiplicação e igualdade de matrizes devemos ter a=d=n e c=b=n. Logo ambas devem ser obrigatoriamente quadradas. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================