Se cos(4x)<>1 então como cos(4x)=T4(cos(x)), pode-se ver rapidamente que cos(4x)=8(cos(x))^2*((cos(x))^2-1)+1=-8*(cos(x))^2*(sen(x))^2+1. E agora observe que (tan(x))^2+(cotg(x))^2=[(sen(x))^4+(cos(x))^4]/[(sen(x))^2*(cos(x))^2)]= =8*[1-2*(sen(x))^2*(cos(x))^2]/[8*(sen(x))^2*(cos(x))^2)]= =2*[4-8*(sen(x))^2*(cos(x))^2]/[8*(sen(x))^2*(cos(x))^2)]=2*[4+cos(4x)-1]/(1-cos(4x)). Obs: T4(x) é o polinômio de Chebyschev de grau 4. É claro que não é necessário utilizá-lo nessa questão. Mas as constas são um pouco simplificadas.
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================