Caro Pedro, Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que a minha) - eu devia ter visto isso... Abraços, Gugu
P.S.: Claro que dá para tirar os -1, mas aí fica bem mais trivial: Isso segue, por exemplo, de |e^(a+bi)|=e^a<=e^((a^2+b^2)^(1/2)). > >|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + ....| >e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ... > >Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite, >obtem-se o resultado. Poderia omitir o "-1" nesse caso? > >Um abraço. Pedro. > >-----Mensagem original----- >De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome >de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira >Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM >Para: obm-l@mat.puc-rio.br >Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos > > Caro Danilo, > Fazendo z=a+bi, queremos provar que >(e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2<=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a >e^(2a)-2e^a.cosb<=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)). >Vamos mostrar que 0<=x<=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x>=e^x(y^2-x^2). >Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2>=h^2+2hx (apss dividir >por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)>=h(h+2x), ou >seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)>=h(h+2x), mas e^h-1>=h,e^x-1>=x e >e^(x+h)-1>=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2>=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)>=h(h+2x). >Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo >e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)>=e^a.b^2. Queremos >provar que o lado esquerdo e' >=2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a) >basta mostrar que b^2>=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2<=2.(b/2)^2=b^2/2, >donde b^2>=2(1-cosb), cqd. > Abragos, > Gugu > >> >> >>Pessoal , alguem sabe fazer essa ? >>prove que para todo numero complexo z , vale >> |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1 >> >> Abs. >> >========================================================================= >Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================