Achei estes problemas interessantes. Sugiro-os aos colegas. Sendo A_n uma sequencia de subconjuntos de um conjunto A, definimos como limite superior de A_n, limsup A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A que peretencam a uma infinidade de conjuntos A_n; definimos como limite inferior de A_n, lim inf A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A que, com possível excecao de um numero finito de conjuntos, pertencam a todos os conjuntos A_n.
1) Mostre que 1.1 lim sup A_n = Interseccao (n =1, oo) (Uniao(m=n, oo) A_m) 1.2 lim inf A_n = Uniao(n =1, oo) (Interseccao(m=n, oo) A_m) 1.3 0 <= lim inf A_n <= lim sup A_n <= A Aqui, 0 significa o conjunto vazio e <= significa esta propriamente contido ou eh igual. 1.4 Se A_n for uma sequencia monotonicamente crescente, no sentido de que A_n <= A_(n+1) para todo n, entao lim inf A_n = lim sup A_n = Uniao (n=1, oo) A_n 1.5 Se A_n for uma sequencia monotonicamente decrescente, no sentido de que A_(n+1>) <= A_n para todo n, entao lim inf A_n = lim sup A_n = Interseccao (n=1, oo) A_n 2) Em analogia com sequencias de numeros reais, dizemos que, se lim inf A_n = lim sup A_n = L, entao L = lim A_n (limite de A_n) e A_n converge para L. 2.1 De exemplo de uma sequencia de conjuntos tal que lim inf A_n = 0 (vazio) e lim sup A_n = A (A um conjunto qualquer) 2.2 De exemplo de uma sequencia A_n que nao seja monotonica mas seja convergente. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================