Eu encontrei o problema de determinar o limite da sequencia de reais dada por:
x(1) = a, x(2) = b, x(n) = (p1*x(n-2) + p2*x(n-1))/(p1 + p2) para n>=3, com p1, p2 >0. Assim, a partir de n =3, cada termo da seq. eh a media ponderada dos 2 termos anteriores com relacao aos pesos p1 e p2. Eu cheguei a uma solucao, mas com um processo um tanto trabalhoso. Inicialmente, nao eh dificil mostrar que, para a=0 e b =1, x_n eh uma sequencia de Cauchy, logo convergente. Para isto, verificamos que, |x(n) - x(n-1)| <= (max(p1,p2)/(p1 + p2))^(n-2) para n>=2. Com alguma algebra, levando em conta o limite de series geometricas de razao <1, podemos mostrar que x(n) e' uma seq. de Cauchy. Depois, verificamos por inducao, num processo algebrico um tanto trabalhoso, que a subsequencia x(2n +1 ) e' uma serie geometrica de razao < 1. Logo esta serie converge para o limite de x(n). Definindo-se r = p2/(p1 + p2) e s = p1/(p1 + p2), concluimos que, se a=0 e b=1, entao x(n) --> L(0,1) = r/(1 - s^2). E aih eh facil concluir que, para quaisquer a e b, x(n) --> L(a,b) = (b-a)L(0,1) + a. Eu creio que hah um processo simples para chegarmos ao limite, mas nao consegui ver. Uma saida natural seria observando que, sendo L o limite, entao L tem que satisfazer a L = (p1*L + p2*L)/(p1 + p2), mas isto nos leva a que L = L e nao agrega qualquer informacao. Se em vez da media ponderada dos 2 termos anteriores tivessemos a dos k termos anteriores, entao o processo que achei levaria a um trabalho algebrico realmente insano. Artur ____________________________________________________ Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================