O problema é achar lim x(n), onde:
x(n) = p*x(n-1) + (1-p)*x(n-2) com 0 < p < 1.
x(1) = a
x(2) = b
Equação característica: t^2 - p*t + p - 1 = 0 ==>
t = 1 ou t = p - 1
x(n) = A + B*(p - 1)^(n-1)
Como -1 < p - 1 < 0, temos que lim x(n) = A.
x(1) = A + B = a
x(2) = A + B*(p - 1) = b ==>
A = a - (a - b)/(2 - p) e B = (a -
b)/(2 - p)
Ou seja, lim x(n) = a - (a - b)/(2 - p)
Fazendo p = p1/(p1 + p2), teremos:
lim x(n) = a - (a - b)*(p1 + p2)/(p1 + 2*p2).
[]s,
Claudio.
| Para: |
"OBM"
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 8 Aug 2005
20:38:11 -0700 (PDT) |
| Assunto: |
[obm-l] limite de
uma sequencia |
> Eu encontrei o problema de determinar o limite da
> sequencia de reais dada por:
>
> x(1) = a, x(2) = b, x(n) = (p1*x(n-2) + p2*x(n-1))/(p1
> + p2) para n>=3, com p1, p2 >0. Assim, a partir de n
> =3, cada termo da seq. eh a media ponderada dos 2
> termos anteriores com relacao aos pesos p1 e p2.
>
> Eu cheguei a uma solucao, mas com um processo um tanto
> trabalhoso. Inicialmente, nao eh dificil mostrar que,
> para a=0 e b =1, x_n eh uma sequencia de Cauchy, logo
> convergente. Para isto, verificamos que, |x(n) -
> x(n-1)| <= (max(p1,p2)/(p1 + p2))^(n-2) para n>=2. Com
> alguma algebra, levando em conta o limite de series
> geometricas de razao <1, podemos mostrar que x(n) e'
> uma seq. de Cauchy.
>
> Depois, verificamos por inducao, num processo
> algebrico um tanto trabalhoso, que a subsequencia x(2n
> +1 ) e' uma serie geometrica de razao < 1. Logo esta
> serie converge para o limite de x(n). Definindo-se r =
> p2/(p1 + p2) e s = p1/(p1 + p2), concluimos que, se
> a=0 e b=1, entao x(n) --> L(0,1) = r/(1 - s^2). E aih
> eh facil concluir que, para quaisquer a e b, x(n) -->
> L(a,b) = (b-a)L(0,1) + a.
>
> Eu creio que hah um processo simples para chegarmos ao
> limite, mas nao consegui ver. Uma saida natural seria
> observando que, sendo L o limite, entao L tem que
> satisfazer a L = (p1*L + p2*L)/(p1 + p2), mas isto nos
> leva a que L = L e nao agrega qualquer informacao.
>
> Se em vez da media ponderada dos 2 termos anteriores
> tivessemos a dos k termos anteriores, entao o processo
> que achei levaria a um trabalho algebrico realmente
> insano.
>
> Artur
>
>
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