Bom, esta é uma propriedade legal das "séries X^(-k!)". Uma idéia é que estes números são "muito bem aproximados por racionais", e que portanto não podem ser algébricos (eu acho que eu sei provar que eles não são racionais, mas a parte dos algébricos eu não lembro direito). Veja que o truncamento desta série é um racional, calcule a diferença (use que a(k) é limitada para isso) e veja que ela é muito menor do que o maior denominador (estime a potência p tal que | irr - truncamento_em_n | <= (X^(-n!))^p)
Eu acho que é por aí. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/12/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de > Hamel? > Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo? > > Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo Nicolau, > no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na internet > uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer se > eh correta: > > > Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o > matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)} > pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel e > que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's > Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile, implica que os > elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada > prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato > um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha. > > Artur > > > > > > > > -----Mensagem original----- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] > nome de Nicolau C. Saldanha > Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma > > > On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja > fechado > > '>'com relacao aa soma > > > > Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q > > (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável > > sobre Q, e, > > portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q > > é não-enumerável. > > > > Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}. > > Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e portanto > o conjunto obtido no final não é dado explicitamente. > > Uma pergunta que eu nao sei reponder: > > É possível responder a pergunta original com a interpretação de que > "encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente" > (sem usar o axioma da escolha)? > > []s, N. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================